Legacy

C. R. Rao is a very famous statistician who is more than one hundred years old by now. He is perfectly lucid and, being no fool, knows that his tenure in this earthly life will soon come to an end.

He has many impressive achievements. A gifted student and, by some serendipity, being in the right place at the right time, he was mentored in Cambridge by Sir Ronald Fisher, the father of modern statistics. Afterwards, he himself would become a mentor to many excellent mathematicians. He developed and proved very important results, many of which bear his name and are used by millions in every field of knowledge. Few among us could say we have accomplished as much as he has. However, he is now worried that once he passes away his work will be forgotten. 

And I cannot blame him. I do sincerely understand him.

Most of us will be left to human oblivion about three generations after we live. Few, like our famous statistician, will escape anonymity beyond that point. Among the few, only a handful will be remembered by all future generations. Moreover, our planet, our solar system, and our galaxy are all going to collapse at some point;  even our universe will die out cold in a state of maximum entropy, as the second law of thermodynamics tells us, if it is a closed system. Therefore, if there is no more to life than this earthly life, all of us will be forgotten. Regardless of how much good (or evil!) we have done, it will all be forgotten. And, worse yet, nothing that we did will ever matter. Nothing at all. Not a thing.

Ecclesiastes, the Old Testament book, discovered this reality thousands of years ago; atheistic existentialism, less than one hundred years ago, rediscovered it too. We humans, finite as we are, but with longings for eternity, need something that goes beyond death or death will catch us soon. If there’s nothing more to life than this world, we are hopeless.

Now, we can believe the philosophy that there is nothing beyond and, being coherent enough, to embrace the meaninglessness that comes with it. Or we can accept our instincts of transcendence, of eternity, and believe that there is something else —that we do not live in a closed universe, and there is a bigger reality than this world. Concededly, the two options have to be accepted by faith. But as C. S. Lewis put it, given that all our human longings can be satisfied, “if we find ourselves with a desire that nothing in this world can satisfy, the most probable explanation is that we were made for another world.” So the longing for eternity betrays those who deny that there is a bigger reality and that it makes our lives meaningful.

Then, for our world to matter it is a necessary condition that there must be a God who made us in His image, which will in turn explain why we have this longing for eternity. Nonetheless, if there is a God beyond our universe, we cannot grasp Him (for the same reason we cannot prove the existence of a multiverse) unless He comes to us and takes us to Himself. That which is finite can never reach infinity, but it is very easy for the infinite to reach what is finite without losing its infinitude.

The good news is that this is exactly what Jesus Christ accomplished! He, being in the form of God, became one of us and came for us, so that we could live with God in eternity. He who is Infinite became finite to take that which is finite to infinity with Him.

Life has no meaning if there is no God. And if there is a God, perfect as He is, we who are imperfect cannot reach him unless He first reaches us. That is why Christianity makes so much sense. That is why Christ is the only way to God. If God, our existence does matter. And if Jesus Christ, we infinitely matter in a personal and existential way, as our instincts rightly advise us.

Since we cannot do anything to reach Him, our only option is to receive by faith what He did for us. That’s all. Just believing. Believing in our hearts that He is the Son of God who came to give His life for us, but was raised from the dead to take us with Him to God the Father. Nothing else is required, and yet everything is offered.

Legado

C. R. Rao es un estadístico muy famoso, tiene más de cien años, es perfectamente lúcido y, como no es ningún tonto, sabe que su paso por este mundo está a punto de terminar.

Tiene muchísimos logros muy impresionantes. Fue un estudiante aventajado y tuvo la buena suerte de estar en el lugar y el momento correctos cuando la estadística estaba naciendo. En sus años de estudiante, fue discípulo de Ronald Fisher, el padre de la estadística moderna; más adelante, él mismo se convertiría en mentor de varios matemáticos excelentes. Desarrolló y probó resultados importantes, muchos de los cuales llevan su nombre y son usados por millones de personas en casi todas las demás ramas del conocimiento. Pocos entre nosotros podríamos decir que hemos logrado tanto. Sin embargo, ahora que está cerca del final, le preocupa que, una vez abandone esta vida, sus logros y su obra queden en el olvido.

No lo puedo culpar. Yo lo entiendo.

En efecto, a la mayoría de nosotros nadie nos recordará unas tres generaciones después de que vivamos. Pocos, como nuestro estadístico famoso, escaparán al anonimato más allá de este punto. Y entre esos pocos, solo un puñado serán recordados por todas las generaciones futuras. Más aún, nuestro planeta, nuestro sistema solar y nuestra galaxia van todos a colapsar en algún momento; incluso nuestro universo morirá de frío en un estado de máxima entropía, según la segunda ley de la termodinámica, si es que vivimos en un sistema cerrado. Por lo tanto, si no hay nada más en la vida que esta vida, todos caeremos en el olvido. Sin importar cuánto bien (¡o mal!) hayamos hecho, todo quedará en el olvido. Y, peor todavía, nada de lo que hayamos hecho va a importar. Nada. Absolutamente nada.

Eclesiastés, el libro del Antiguo Testamento, descubrió esta realidad hace miles de años; hace menos de cien, el existencialismo ateo la redescubrió también. Los humanos, finitos como somos, pero con anhelos de eternidad, necesitamos algo que sobrepase a la muerte o la muerte se apoderará de nosotros. Si no hay nada más en la vida que este mundo, no tenemos esperanza.

Ahora, podemos creer en la filosofía de que no hay nada más allá, y si somos lo suficientemente coherentes, abrazar el sinsentido que viene con ello. O podemos aceptar nuestros instintos de trascendencia, de eternidad, y creer que hay algo más, que no vivimos en un universo cerrado y que hay una realidad mayor más allá de este mundo. Hay que admitirlo, cualquiera de las dos opciones ha de aceptarse por fe. Pero como dijo C. S. Lewis, dado que todos nuestros anhelos humanos pueden satisfacerse, si descubrimos que tenemos deseos que nada en este mundo puede satisfacer, la explicación más probable es que fuimos hechos para otro mundo. Así que el anhelo de eternidad traiciona a quienes niegan que exista una realidad mayor y que esta dé sentido a nuestras vidas.

Entonces, si este mundo ha de importar, es condición necesaria que exista un Dios que nos hiciera a su imagen, lo cual a su vez explicaría nuestro anhelo de eternidad. No obstante, si hay un Dios más allá de nuestro universo, no podemos alcanzarlo (por la misma razón que no podemos probar la existencia de un multiverso) a menos que Él se acerque y nos lleve con Él. Aquello que es finito nunca puede alcanzar lo infinito, pero es sencillo para lo infinito alcanzar lo finito sin perder su infinitud.

¡La buena noticia es que es esto exactamente lo que hizo Jesucristo! Él, teniendo forma de Dios, se hizo como uno de nosotros y pagó por nuestras vidas con la suya, para que pudiéramos vivir con Dios en la eternidad. Aquel que es Infinito se hizo finito para llevarnos a quienes somos finitos a lo infinito con Él.

La vida no tiene sentido si no hay Dios. Y, si hay un Dios, perfecto como es, nosotros, que somos imperfectos, no podemos alcanzarlo a menos que Él se acerque primero. Por esta razón el cristianismo tiene tanto sentido. Por esta razón Cristo es el único camino hacia Dios. Si Dios, nuestra existencia importa. Y si Jesucristo, importamos infinitamente en un sentido personal, existencial, como sugieren nuestros instintos.

Como nada podemos hacer para alcanzarlo, nuestra única opción es recibir por fe lo que Él hizo por nosotros. Eso es todo. Tan solo creer. Creer en nuestro corazón que Él es el Hijo de Dios, que vino a dar su vida por nosotros, pero fue levantado de entre los muertos para llevarnos al Padre. Nada más se requiere; sin embargo, se ofrece todo.

Donde la golondrina paró

Las golondrinas no suelen detenerse por mucho tiempo en ninguna parte. Migran con las estaciones huyendo del frío, en busca de lugares más cálidos donde puedan encontrar también más abundante comida. Su vida errante ha venido a representar lo efímero. Gustavo Adolfo Bécquer, hablándole al amor que se fue y no volverá, escribió sus famosas Golondrinas:

Volverán las oscuras golondrinas
en tu balcón sus nidos a colgar,
y otra vez con el ala a sus cristales
jugando llamarán.

Pero aquellas que el vuelo refrenaban
tu hermosura y mi dicha al contemplar,
aquellas que aprendieron nuestros nombres....
¡esas... no volverán!

Volverán las tupidas madreselvas
de tu jardín las tapias a escalar
y otra vez a la tarde aún más hermosas
sus flores se abrirán.

Pero aquellas cuajadas de rocío,
cuyas gotas mirábamos temblar
y caer como lágrimas del día....
¡esas... no volverán!

Volverán del amor en tus oídos
las palabras ardientes a sonar;
tu corazón de su profundo sueño
tal vez despertará.

Pero mudo y absorto y de rodillas,
como se adora a Dios ante su altar,
como yo te he querido..., desengáñate,
así... ¡no te querrán!

E Ismael Enrique Arciniegas termina su poema A solas de esta manera:

Hace tiempo se fue la primavera...
¡Llegó el invierno fúnebre y sombrío!
Ave fue nuestro amor, ave viajera,
¡y las aves se van cuando hace frío!

Las golondrinas entonces se convirtieron en una representación del amor pasajero; del amor que el ser humano anhela que permanezca para sentir calor en el invierno, pero se va y deja un vacío tan profundo que ninguna chimenea logra calentar el corazón.

¿Acaso no deseamos todos ardientemente un lugar donde la golondrina se quede a vivir? ¿Uno donde las aves no tengan que huir del frío ni en busca de comida? ¿Uno tan seguro que seamos aceptados como somos y el amor, ese que tanto hemos ansiado y se nos ha escapado, jamás se agote?

Bueno, hay un lugar donde la golondrina paró; un sitio donde el ave viajera hizo su casa, construyó su nido y crió a sus polluelos; un lugar donde el amor jamás va a escaparse y se quedará para siempre: la presencia de Dios.

Aquel que creó este universo con todo su poder también quiere acercarse a nosotros. Ha hecho todo por ganarse nuestro amor. Ofreció la vida de su Hijo por amor. Y una vez aceptemos su propuesta de acercarnos a Él, no nos va a soltar. No se va a ir. Su amor será tan cálido que tampoco nosotros tendremos que huir jamás. Y como Él no se va a ir, sabremos que durará para siempre. Si aun la golondrina tiene allí su hogar, también nuestra alma podrá hallar la paz.

¡Cuán preciosas son tus moradas, oh Señor de los ejércitos!
Anhela mi alma, y aun desea con ansias los atrios del Señor.
Aun el ave ha hallado casa,
y la golondrina nido para sí donde poner sus polluelos:
¡tus altares, oh Señor de los ejércitos,
Rey mío y Dios mío!
¡Dichosos los que moran en tu casa!
Salmo 84:1-4

¿Contradice el Nuevo Testamento al Antiguo?

La piedad para Vittoria Colonna, de Miguel Ángel. El madero vertical de la cruz detrás de la Virgen María tiene una inscripción del Paraíso de Dante que dice: «No se piensa cuánta sangre costó» (Fuente: Wikipedia).

Me preguntan por qué el Nuevo Testamento (NT) dice algunas cosas que parecen contradecir al Antiguo Testamento (AT). Es una buena pregunta. En general, me parece que hay un problema de interpretación, más que de contradicción interna del texto. Retomaré aquí algo que escribí hace un tiempo en Instagram y lo ampliaré un poco más.

No piensen que he venido a anular la ley y los profetas; no he venido a anularlos, sino a darles cumplimiento.

Mt. 5:17 (NVI)

Hay dos formas de interpretar este pasaje, una correcta y otra contradictoria, como veremos. Con respecto a la segunda, muchos han interpretado esto como que Jesús vino a obedecer la ley de Moisés, pero eso no puede ser. Los Evangelios están llenos de referencias en los que Jesús intencionalmente se pasa la ley «por la galleta» para mostrar amor, que es el sumo bien. Veamos algunos ejemplos.

  1. La ley declaraba inmundo al leproso (Lv. 13), de modo que quien lo tocara quedaba también contaminado (Nm. 5:1-3). Sin embargo, el mismo Mateo que cita a Jesús en el Sermón del Monte diciendo que vino a cumplir la ley, lo primero que hace después de terminar tal discurso es contar que Jesús tocó a un leproso para sanarlo (Mt. 8:1-3).
  2. La ley declaraba que una mujer con flujo de sangre era inmunda y todo el que la tocara quedaba inmundo (Lv. 15:19-33). También declaraba que los muertos eran inmundos y todo el que los tocaba quedaba inmundo (Nm. 5:1-3), a tal punto que los sumos sacerdotes no podían tocar ni a sus seres más queridos (Lv. 21:10-11). Sin embargo, en una misma historia una mujer con flujo de sangre queda sana cuando toca a Jesús, y una niña muerta resucita cuando Jesús la toca (Mt. 9:18-26).
  3. La ley declaraba en varias partes que el día de reposo era irrompible, incluso en los diez mandamientos (Dt. 5:12-15) y que quien lo rompiera debía ser castigado con la muerte (Éx. 35:2-3). Sin embargo, cuando Jesús fue recriminado por trabajar en sábado dijo que sí, que eso era exactamente lo que estaba haciendo (Jn. 5:16-17). Incluso cuando sus discípulos tuvieron hambre y arrancaron espigas en día de reposo, cosa que prohibía la ley (Éx. 34:21), Jesús no los recriminó y antes los defendió ante los religiosos que querían obligarlos a cumplir la ley (Mt. 12:1-14).

¿Se contamina Jesús al tocar al leproso, a la mujer con el flujo de sangre o a la niña muerta? ¿O quedan más bien estas personas puras, sanas, vivas, al tocar a Jesús? ¡La respuesta es, por supuesto, la segunda! Si Jesús hubiera estado sujeto a la ley, habría quedado contaminado. No obstante, las palabras de Jesús dejan claro que Él es Señor de la ley, no siervo de ella (Mt. 12:8). La ley se sujeta a Él, no Él a la ley.

Entonces cuando Jesús dijo que no venía a abrogar la ley, sino a cumplirla, no se refería a sujetarse a ella, sino a darle cumplimiento. La imagen es la de un pagaré que está vigente hasta que la deuda queda cancelada (Col. 2:13-14). Abrogar la ley habría sido no pagarlo; saldar la deuda es cumplir el trato, con lo cual el pagaré —que es la ley de Moisés— queda anulado por cumplido (Ef. 2:14-15).

¿Contradice esto al AT? ¡Claro que no! Pablo les dice a los Gálatas que habría una contradicción si la ley de Moisés pudiera dar vida (Gá. 3:21). Pero la ley de Moisés era incapaz de hacer esto (y muchas cosas más). Si la ley hubiera podido dar vida, si hubiera podido justificar, si hubiera podido santificar, si de ella hubiera dependido que Dios obrara a mi favor, si de ella hubiera dependido que yo recibiera al Espíritu Santo, entonces el NT —y la promesa a Abraham, que es anterior a la ley de Moisés por varios siglos— implicaría una contradicción con el AT. Pero el antiguo pacto tenía los días contados (Gá. 3:19); terminaría cuando llegara el nuevo (Gá. 4:4). Puesto que la ley, el antiguo pacto, era inútil para producir todas las cosas anteriormente mencionadas (He. 7:18-19), es natural que su obsolescencia llegara (He. 8:13). De hecho, que este nuevo pacto llegaría, es algo que estaba profetizado desde el AT (Jer. 31:31-34).

El propósito de la ley era hacer explícito el pecado que había en mi corazón para guiarme a Cristo (Gá. 3:24). Es decir, la ley mostraba que no podía salvarme por mí mismo y necesitaba a otro, a Cristo, para que lo hiciera por mí (Mt. 19:16-26). Pero ahora que estoy en Cristo, la ley ya no es mi guía (Gá. 3:25), sino el Espíritu Santo (Gá. 5:18).

En cuanto a las promesas del AT, su propósito era apuntar a Cristo (Jn. 5:39). Volvemos así a la cita inicial que redondea todo este asunto (Mt. 5:17). Cristo cumplió la ley porque en Él se cumplió todo lo que estaba prometido (Jn. 19:30). Lejos de contradecirlo, en Cristo queda demostrada la veracidad del Antiguo Testamento.

El reguetonero y el nuevo poeta

Poeta de gerundios 
es lo que vienes siendo,
gran escritor de adverbios 
que exigen pocamente,
los verbos de tus rimas,
siempre en infinitivo, 
ni puedes conjugal. 

Poeta de buseta, 
cantor de compostaje,
compositor de estiércol 
y autor de lo soez,
que ni a punta de Viagra 
el cuerpo se te inflama
tanto como esa lengua 
que no dominas bien.

Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

El siguiente texto es una traducción mía del original que Lewis Carroll, el matemático y autor de Alicia en el país de las maravillas, publicara en la revista filosófica Mind en el año 1895. Es corto y muy interesante. Varias páginas en inglés contienen transcripciones del artículo, por ejemplo esta.

Aquiles había sobrepasado a la tortuga y se había sentado cómodamente sobre la espalda de ella.
—¿Así que llegaste al final de nuestra carrera? —dijo la tortuga—. ¿Aunque consista de una serie infinita de distancias? Creí que un sabihondo o algo así había dicho que no se podía.
Puede hacerse —dijo Aquiles—. ¡Se ha hecho! Solvitur ambulando. Verás, las distancias estaban decreciendo constantemente, y…
—¿Y si hubieran estado incrementando? —interrumpió la tortuga—. ¿Qué pasaría entonces?
—Entonces yo no estaría aquí —replicó Aquiles—, ¡y para este momento tú ya le habrías dado varias vueltas al mundo!
—Me adulas… ¡digo, me anulas! —dijo la tortuga—, porque tú eres un peso pesado, que no te cabe la menor duda.1 Bueno, ¿pero te gustaría ahora saber de un circuito que la gente cree poder completar en dos o tres pasos, aunque de verdad sea de un número infinito de distancias, cada una más larga que la anterior?
—¡Pero claro que sí! —dijo el guerrero griego, en tanto sacaba de su casco un enorme cuaderno y un lápiz (pocos guerreros griegos tenían bolsillos por aquella época)—. ¡Adelante! ¡Y, por favor, habla despacio, que todavía no se han inventado la taquigrafía!
—¡Qué bella es la primera proposición de Euclides! —musitó la tortuga distraídamente—. ¿Admiras tú a Euclides?
—¡Apasionadamente! Al menos tanto como es posible hacerlo con un tratado que no será publicado sino en unos cuantos siglos.
—Bueno, pues tomemos ahora un pedacito del argumento en la primera proposición: tan solo dos pasos, y la conclusión que se obtiene de ellos. Ten la bondad de escribirlos en tu cuaderno. Y, por un asunto de conveniencia, llamémoslos A, B y Z.
»(A) Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
»(B) Los dos lados de este triángulo son dos cosas que son iguales a una misma cosa.
»(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
»Supongo que los lectores de Euclides admitirán que Z se sigue lógicamente de A y B. ¿Es decir que quien acepte que A y B son verdaderos, debe aceptar que Z es verdadero?
—¡Sin lugar a dudas! ¡Hasta el más pequeño de la secundaria (tan pronto como se inventen las secundarias, que no será sino hasta dentro de unos dos mil años), admitirá tal cosa!
—Y supongo que el hecho de que algún lector no haya aceptado todavía que A y B son verdaderas no le impide aceptar que la secuencia es válida, ¿cierto?
—Por supuesto que un lector así puede existir. Podría decir: «Acepto que es verdadera la Proposición Hipotética “Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera”; pero no acepto que A y B sean verdaderas». Tal lector haría bien en abandonar a Euclides y dedicarse al fútbol.
—¿Y no podría haber también algún lector que dijera: “Acepto que A y B son verdaderas, pero no acepto la Proposición Hipotética”?
—Claro que puede haberlo. Y él también debería dedicarse al fútbol.
—Y ninguno de estos dos lectores —continuó la tortuga— está hasta este momento bajo la necesidad lógica de aceptar que Z es verdadera.
—Así es —asintió Aquiles.
—Bueno, pues yo quiero que me consideres a mí como uno de esos lectores del segundo grupo, y que me fuerces lógicamente a aceptar que Z es verdadera.
—Una tortuga jugando fútbol… —comenzó a decir Aquiles.
—Una anomalía, por supuesto —interrumpió apresurada la tortuga. Pero no te distraigas. ¡Primero veamos Z y luego, lo del fútbol!
—Tengo que forzarte a aceptar Z, ¿cierto? —dijo Aquiles en tono reflexivo—. Y tu posición actual es que aceptas A y B, pero no aceptas la Proposición Hipotética…
—Llamémosla C —dijo la tortuga.
—Pero no aceptas:
»(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera».
—Esa es mi posición en este momento —dijo la tortuga.
—Entonces debo pedirte que aceptes C.
—Lo haré —dijo la tortuga—, tan pronto como la escribas en tu cuaderno. ¿Qué más tienes en él?
—Tan solo unos memorandos —dijo Aquiles, pasando las hojas nerviosamente—, de las batallas en las que me he distinguido.
—¡Entonces hay muchas hojas blancas! —anotó la tortuga alegremente—. ¡Vamos a necesitarlas todas! —Aquiles se estremeció—. Escribe, pues, lo que voy a dictarte:
»(A) Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
»(B) Los dos lados de este triángulo son dos cosas que son iguales a una misma cosa.
»(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
—Deberías llamarla D, no Z —dijo Aquiles—. Viene justo después de las otras tres. Si aceptas A, B y C, debes aceptar Z.
—¿Y por qué debo?
—Porque se sigue lógicamente de ellas. Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. No vas a disputar eso, me imagino.
—Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera —repitió la tortuga en tono pensativo—. Esa es otra proposición hipotética, ¿no? Y si no veo que sea verdadera, podría aceptar A, B y C, y seguir sin aceptar Z, ¿cierto?
—Podrías hacerlo, sí —admitió el héroe con franqueza—; aunque tal cerrilidad es, sinceramente, fenomenal. Sin embargo, el evento es posible. Así que debo pedirte que admitas una Proposición Hipotética más.
—Muy bien. Estoy más que dispuesto a admitir tal cosa, tan pronto como la escribas. La llamaremos:
»(D) Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»¿Ya la anotaste en tu cuaderno?
—¡Ya! —exclamó Aquiles con júbilo, mientras guardaba el lápiz en su funda—. ¡Y por fin terminamos este circuito ideal! Ahora que aceptas A, B, C y D, por supuesto que aceptas Z.
—¿La acepto? —dijo la tortuga inocentemente—. Hagámoslo muy claro. Acepto A, B, C y D. Supón que todavía me rehuso a aceptar Z.
—¡Entonces la lógica te forzaría a hacerlo! —replicó Aquiles triunfalmente—. La lógica te diría: “Ahora que aceptaste A, B, C y D, ¡debes aceptar Z!”. Así que no tienes elección, ¿lo ves?
—Cualquier cosa que me esté diciendo la buena lógica vale la pena escribirla —dijo la tortuga—. Así que por favor escríbela en tu cuaderno. La llamaremos:
»(E) Si A, B, C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»Por supuesto que hasta que no haya admitido eso, no necesito admitir Z. Así que es un paso muy necesario, ¿ves?
—Veo —dijo Aquiles, y había un toque de tristeza en su voz.

Aquí el narrador, teniendo diligencias pendientes en el banco, se vio obligado a dejar a la feliz pareja, y no volvió a pasar por allí sino hasta después de varios meses. Cuando volvió, Aquiles todavía estaba sentado sobre la espalda de la resistente tortuga, y seguía escribiendo en su cuaderno, que ya parecía casi lleno del todo. La tortuga estaba diciendo:

—¿Ya escribiste ese último paso? A menos que haya perdido la cuenta, es el paso mil uno. Hay muchos millones más por venir. Y te importaría, como un favor personal, considerando qué buena instrucción este coloquio nuestro estará proveyendo a los lógicos del siglo diecinueve… ¿te importaría adoptar para ti un calambur que mi prima la Falsa Tortuga hará,2 y aceptar que de ahora en adelante te llames Tortura3?
—¡Como quieras! —replicó el guerrero agotado, con un tono vacío de desesperación, enterrando su cara en sus manos—. En tanto como , por tu parte, adoptes un juego de palabras que la Falsa Tortuga nunca inventó, y aceptes ser llamado de ahora en adelante Aquí-Les-Quedo.4


Notas de traducción

  1. “You flatter me —flatten, I mean” said the Tortoise; “for you are a heavy weight an no mistake!
  2. Juego de palabras en inglés, la Falsa Tortuga era una personaje de Alicia, cuyo nombre original en inglés, Mock-Turtle, también puede traducirse como «Tortuga Burlona».
  3. Taught-Us. Juego de palabras proveniente de Alicia, cuya pronunciación es semejante a la pronunciación británica de tortoise, «tortuga».
  4. A Kill-Ease.

El desenlace del escritor

Rembrandt – El festín de Belsasar. National Gallery (dominio público).

La revista Inference me invitó a responder al ensayo reciente de David Berlinski llamado The Director’s Cut [El corte del director]. Lo he leído detenidamente, varias veces, y aunque mi conclusión es que, como resulta difícil contestar a un escrito con el que uno está mayormente de acuerdo, más bien voy a utilizarlo como excusa para ahondar en ciertas ideas. 

El escrito versa sobre el primer teorema de incompletitud (PTI) de Gödel. Berlinski invierte casi dos tercios del texto —que no pretende ser formalmente matemático— en la explicación de la idea que usó Gödel para la prueba.1 Después, súbitamente, comienza a hablar sobre las implicaciones del teorema en la discusión filosófica acerca de si la mente es tan solo un computador o es algo más, el llamado «argumento godeliano».2

De hecho, el escrito lleva un flujo de lectura absorbente y bastante formal hasta la explicación de Gödel y Tarski. Cuando gira al problema mente-máquina, la profundidad matemática queda relegada (porque el tema ya no es tan matemático, sino más filosófico) y es casi como si empezara un nuevo escrito, quizás también absorbente, pero en una dirección diferente.

A decir verdad, fue la composición lo que me resultó más extraño en el ensayo de Berlinski. Primero, después de releerlo varias veces sigue sin ser claro para mí si la mención al problema mente-máquina fue apenas un comentario parentético o era el punto al que quería llegar el autor. Segundo, la sección final del ensayo, llamada también «El corte del director», puede leerse de las dos formas, como una conclusión que abarca el problema mente-máquina o como una reflexión general sobre lo que provoca el PTI que poco o nada tiene que ver con el argumento godeliano.

Así, a pesar de que disfruté, y mucho, la explicación de Berlinski sobre la demostración del PTI, como tengo poco que pueda agregar, me voy a concentrar en sus apreciaciones sobre el problema mente-máquina y su conclusión.

Desasosiego para el hombre moderno

Ha de concederse que en el más formal de los sentidos es difícil, a partir de los teoremas de incompletitud de Gödel, o de un corolario suyo, concluir que la mente es más que una máquina. De la afirmación «Un sistema formal es consistente si y solo si tiene proposiciones indecidibles», como dijera Hillary Putnam, no puede decirse mucho más. 

Sin embargo, tampoco se puede negar que hay algo provocador en los teoremas de incompletitud que inducen a pensar que la mente humana es más que una máquina. Que la deducción a partir de los teoremas sea justificada no me parece tan interesante como lo evocadores que resultan en dicha dirección. Hay algo en los teoremas de incompletitud que invita al menos a preguntarse si la mente no será más que una máquina.3 Dos veces cita Berlinski a Gödel al respecto, con lo que se demuestra que ni siquiera Gödel se pudo sustraer a la pregunta, y aunque la respuesta de Gödel parezca más una aplicación de su propio resultado, dándole cierto aire de indecidibilidad al problema, lo importante es que hasta en sus cuestionamientos queda claro que hay algo en los teoremas que nos lleva a considerar el asunto.4

¿Es el hecho de que, como dicen John Lucas y Roger Penrose, nosotros podemos detectar verdades que el sistema formal no está en capacidad de decidir? ¿Es el hecho de que somos capaces de ver símbolos, e ir más allá de los signos, cosa que los computadores (como hoy los tenemos definidos) no pueden hacer? No importa mucho lo que sea, el caso es que, habiendo algo en los teoremas que induce a ir más allá del mecanicismo, el ideal moderno es ya el gran perdedor.

Tekel

Es una creencia popular que la matemática está desprovista de paradojas y posibles contradicciones. En realidad, las paradojas se han venido descubriendo desde hace siglos. Cuando Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron su Principia Mathematica buscaban librar a la matemática de ellas.5 El espíritu de los tiempos tenía todo que ver. La Modernidad exaltaba la razón por encima de todas las cosas, por lo tanto el razonamiento lógico debía ser confiable. La iluminada Ilustración se contrastaba con el oscurantista Medioevo y esto debía quedar claro para todos. Comte, Russell, Wittgenstein, el círculo de Viena, el programa de Hilbert, son todos puntos que buscaban converger al positivismo lógico.

El conocimiento para ser tal debía sujetarse a la razón y esto con criterios estrictamente lógicos. Gödel con sus teoremas derrumba este ideal: hay proposiciones verdaderas de las cuales nos damos cuenta de que son verdaderas, pero que están fuera del alcance del sistema formal. En esto tienen la razón Lucas y Penrose. Si bien es cierto, como decía Putnam, que el PTI mirado desde adentro no dice nada, también lo es que al mirarlo desde la orilla vemos proposiciones verdaderas que el sistema no puede encontrar. Tal vez esta fuera la intención de Berlinski al explicar en detalle el camino de la prueba hasta llegar a la definición 46 de Gödel, Bew, pues como él mismo dice: «Mirando su propio filme, el director ahora está en capacidad de verse a sí mismo mirando su propio filme».

Gödel elimina el ideal moderno. Si bien su PTI no prueba estrictamente que la mente no puede reducirse a una máquina, abre la puerta de par en par a considerarla como algo más, y acaba también con toda pretensión de sujetar todo el conocimiento a una serie de pasos lógicos. El gran perdedor es el positivismo moderno en todas su formas. La ciencia moderna debía mostrar sin lugar a dudas que la mente era reducible a un mecanismo. No solo no lo ha demostrado, sino que Gödel nos lleva a cuestionar este postulado. El PTI deja un sinsabor en la boca del hombre moderno: afirma que el sistema formal o es consistente o es completo, pero no las dos. Sería deseable tener las dos cosas juntas, pero si no se puede tener las dos, al menos es preferible sacrificar la completitud y no la consistencia. Nos queda al menos la esperanza de que el sistema sea consistente.

De Terence Tao y Edward Nelson

En el año 2011, el ya fallecido Edward Nelson, reconocido matemático de la Universidad de Princeton y otrora miembro del Instituto de Estudios Avanzados, anunció que había demostrado la inconsistencia de la aritmética. El asunto trascendió en redes sociales cuando John Baez lo publicó en el blog The n-Category Café. Mientras Baez afirmaba en el blog original que el resultado de Nelson era demasiado técnico para que lo siguiera, ese mismo día, en los comentarios del blog, se dio una conversación fascinante entre Terence Tao y Nelson.

Tal vez fue eso lo que más llamó la atención de todos los que seguimos la noticia en su momento: que Tao, el matemático considerado por muchos como el Carl Friedrich Gauss de nuestros tiempos, hubiera intervenido en redes para esclarecer el asunto hablaba a las claras de la importancia de lo que se estaba tratando.

Una parte no tan pequeña de mí, lo confieso, empezó a pasar de la fascinación al morbo. ¿Qué pasaría si el resultado de Nelson se sostenía? ¿Cuáles serían las implicaciones a nivel matemático? ¿Qué de la aritmética quedaría en pie? ¿Qué de nuestros argumentos racionales seguiría sosteniéndose?

La emoción me duró poco. En el ir y venir de la conversación entre Tao y Nelson, aquel encontró un defecto en la prueba de este, y Nelson terminó retractándose. Sin embargo, algo me quedó claro: a pesar de que la gran mayoría creyera, sin haber leído la prueba, que Nelson estaba equivocado, la posibilidad de que este tuviera la razón estaba abierta y el desconcierto que se vio aquel día hablaba más fuerte que las palabras. Dice Baez (traducción mía):

La mayoría de lógicos no piensan que el problema sea «hacer una aritmética consistente». A diferencia de Nelson, creen que la aritmética que hoy tenemos ya es consistente. El problema es hacer un sistema consistente de aritmética que pueda probar su propia consistencia

Nelson cuestiona el principio de inducción matemática, por razones que explica en su libro, de modo que estoy seguro de que en su nuevo sistema eliminará o modificará este principio.

No es necesario decir que este es un paso radical. Pero mucho más radical es su aseveración de que puede probar que la aritmética común es inconsistente. Casi ningún matemático cree esto. Apuesto que está cometiendo un error en alguna parte, pero de estar en lo correcto alcanzará la gloria eterna.

Baez estaba en lo cierto: Edward Nelson cometió un error en la demostración y se retractó de ella. No obstante, a pesar de que el primer intento de prueba de Nelson se cayó en 2011, él siguió trabajando en el asunto hasta su muerte en 2014. Durante este período produjo dos trabajos llamados Inconsistency of Primitive Recursive Arithmetic [Inconsistencia de la aritmética recursiva primitiva] y Elements [Elementos] que fueron subidos al arXiv de manera póstuma. En ambos apareció un epílogo idéntico, escrito por Sam Buss y Terence Tao. «Por supuesto, creemos que la aritmética de Peano es consistente; por lo tanto no esperamos que el proyecto de Nelson pueda completarse de acuerdo a sus planes», escribieron los dos matemáticos en algún momento del epílogo.

En las dos partes donde Baez conjuga el verbo creer en su cita, el énfasis es agregado mío; en la cita de Buss y Tao, también. En los dos comentarios el uso del verbo no podría ser más apropiado: dada la imposibilidad de mostrar que un sistema formal que satisfaga las condiciones de los teoremas de incompletitud sea a la vez completo y consistente, la única solución es aceptar lo que sea que aceptemos sobre la consistencia por fe. La fe es la más importante de las herramientas del matemático y del lógico. No tiene ningún sentido que el matemático desarrolle matemáticas si cree que el sistema no es consistente, pero esta consistencia es algo que no puede conocer, sino a lo más creer que sea cierta.

El desenlace del escritor

La ciencia moderna debía pasar de la religión al conocimiento lógico, pero el segundo teorema de incompletitud (STI) de Gödel —que muestra que si el sistema es consistente, no tiene como comprobar su propia consistencia—, nos lleva a que la matemática, nuestra forma de conocimiento más formal, no puede sustentarse en la lógica, sino que seguirla aceptando requiere fe… pobre Comte.

«Ningún sistema formal puede explicarse a sí mismo. No puede decir nada y no podemos decir todo», dice David Berlinski en la conclusión de su escrito. Berlinski para en el PTI, en la indecidibilidad.6 Está bien, no tenía por qué ir más adelante al STI, resultado que solo menciona una vez de pasada. Pero le habría sido útil para reforzar el hecho de que no podemos decirlo todo. La esperanza de consistencia se ha convertido en incertidumbre. El sinsabor del PTI se ha convertido en amargura con el STI. A lo mejor que podemos aspirar es a no tener certeza de la consistencia porque cuando probemos que el sistema es consistente (o que no lo es), tan solo habremos demostrado su inconsistencia.

En efecto, el sistema formal no puede explicarse a sí mismo. Más aún, como dijo Berlinski, no puede decir nada. O puesto de otra manera, de nuevo desde la perspectiva del STI, puede decir muchas cosas, pero ninguna será definitiva. ¿Cómo sabemos que en el futuro no aparece un Edward Nelson con una demostración efectiva de que la aritmética es inconsistente?

Hace pocos días, el escritor Arturo Pérez-Reverte, miembro de la Real Academia Española, publicó el siguiente hilo de tres tuits que acá transcribo de corrido: 

«Antes de irme a dormir (acabo de regresar de un viaje) les dejo, o propongo, una idea que tengo en la cabeza hace mucho: la novela perfecta e imposible, por si alguno de ustedes es de verdad un genio (que alguno habrá) y se anima a escribirla.

»Escribir una novela cuya última página sea idéntica a la primera y obligue a volver a esa primera página; de manera que la nueva lectura del libro, a la luz de lo ya leído, proporcione una lectura diferente. Y dedicar la novela a Borges.

»Buenas noches».

La novela perfecta que sueña Pérez-Reverte va a tener que hacerse con base en los teoremas de incompletitud de Gödel. Después de todo el nudo de la Modernidad, Gödel nos dejó como al principio: no es solo que no podamos decidir, sino que hasta nuestros más formales sistemas requieren fe. Tal como antes de que empezara la Modernidad. La última página de la historia no se diferencia de la primera, pero sí nos fuerza una nueva lectura, «[los teoremas de incompletitud] han cambiado la forma en la que vemos las cosas».7 Antes de la Modernidad intuíamos que no teníamos cómo fundamentar la razón por fuera de la fe. Ahora lo sabemos.

Solo hay una novela. Todas las demás son solo derivaciones del Quijote. Todo un homenaje a Borges.

NOTAS

  1. Dan Gusfield, de la Universidad de California en Davis, tiene una prueba en la zona «ricitos de oro» que no es ni demasiado formal para volverse inentendible para la persona de a pie ni demasiado relajada para volverse superflua; apta para estudiantes de pregrado de segundo año. La versión escrita está aquí; la versión en video, aquí.
  2. Los filósofos llaman a esta discusión: «argumento godeliano en la concepción mecanicista». Nombre largo y tedioso.
  3. Y ese algo, por cierto, no se lo cuestionan los computadores.
  4. En un escrito de Jack Copeland, también citado por Berlinski, dice que Gödel parecía inclinarse más hacia el inmaterialismo. La entrada de Wikipedia en español sobre los teoremas de incompletitud de Gödel también afirma esto: «[Marvin] Minsky ha informado de que [sic] Kurt Gödel le dijo a él en persona que él creía que los seres humanos tienen una forma intuitiva, no solamente computacional, de llegar a la verdad y por tanto su teorema no limita lo que puede llegar a ser sabido como cierto por los humanos». Lastimosamente, Wikipedia no da ninguna referencia.
  5. Al respecto véase, por ejemplo, esta charla de Douglas Hofstadter.
  6. Y en el concepto de verdad en lenguajes formalizados de Tarski.
  7. Berlinski, The Director’s Cut.

Eternity

Eternity cannot be defined in terms of time, because time began to exist with this finite universe. Were we to define eternity in terms of time, we would need to give God a beginning, so that this entity we call God in reality would not be it; instead, it would be becoming more God as time goes by, as in the questionable “process theology.” Eternity must be something different. I say eternity is the plenitude that is experienced in a relationship of love. That is why God needs to be Triune in order to be eternal —the eternity of each of the three Persons in the Trinity would reside in the perfect relationship of love —given and received— they have with the other two.

Likewise, the eternity we long for, that which God placed in our hearts, must be of an intimate relationship of love with Him. In this way, nothing else, no one else, is able to satisfy such a longing, except the One who can love perfectly. Just Him.

But we are not there yet. However, in the meantime, the better our relationships of love here, the closer we will be to plenitude in this world. Maybe they are not going to be perfect, but it does not make them bad or less desirable. Everything that is finite is only small when compared to infinity. In this sense, no human relationship, no matter how loving, resembles having a relationship with God —the relationship with God there. Nonetheless, that which is finite can be large, very large, when compared to other finite things. Therefore, the more we come close to plenitude in our relationships of love here, the closer we will be to eternity, in a limit that is only going to converge eternally with Him there.

Meanwhile, we love here. We offer eternity —the eternity that God has set in our hearts— to those who are close to us here. And we do it not only with the hope that each of us is going to experience the eternity of His love there, but with the hope that our relationships of love here will be perfected there, and that, in Him, those relationships will also become eternal.

Of Hilbert and Gödel

It was the year 1900; August, to be more accurate, when in Paris, David Hilbert, one of the best-known mathematicians of his time, posed a list of twenty-three open problems. The impact was huge, so much so that much of the mathematical research of the dawning century was consumed by these problems, the most important ones for Hilbert. Nobel Prize winners, Fields medalists, and other winners of prestigious awards were among those who work to solve them. Some of them (the Riemann hypothesis, for instance) are so hard that they are still open, and large sums of money are offered to whomever is able to solve them.

It was the year 1900. The Enlightenment had come, the Dark Ages were past. The Scientific Revolution brought progress. God was dead, now the Superman (Nietzsche’s Übermensch) lived. The universe with its infinite history did not require a God. Darwin had proposed a mechanism through which all biological species have merely emerged. The twentieth century was shaping up as the most promising one. It would be the beginning of a new age in which man will take the position he was destined to take, far from the noise of all those meaningless myths. Reason should be able to explain all things. Each event should have a natural explanation for its occurrence. Every proposition should be subjected to a logical explanation to verify its truth value. If every new year brings with itself the happiness and hope of a new beginning, how much more must a new century bring! And how much more must the twentieth century, the first truly Modern century through and through, promise! No wonder such a fervor.

In a way the optimism was at least understandable, if not justified. Not even Hilbert could escape the enthusiasm of the times. Two of his twenty-three problems, the second and the sixth, reflected the modern aspiration of subjecting everything to human reason. The second problem was to prove that the axioms of arithmetic were consistent —that the axioms of the natural numbers did not lead to any contradictions. The sixth problem was to axiomatize physics, particularly probability and mechanics.

The sixth problem conveys Hilbert’s modern heart: physics should be subjected to cold reason, even chance must submit to reason! Mathematics, the most rigorous way of knowing, should extend itself beyond abstraction to dominate chance and physical reality. He put the matter this way when he posed the second problem:

When we are engaged in investigating the foundations of a science, we must set up a system of axioms which contains an exact and complete description of the relations subsisting between the elementary ideas of that science. The axioms so set up are at the same time the definitions of those elementary ideas; and no statement within the realm of the science whose foundation we are testing is held to be correct unless it can be derived from those axioms by means of a finite number of logical steps…

But above all I wish to designate the following as the most important among the numerous questions which can be asked with regard to the axioms: To prove that they are not contradictory, that is, that a finite number of logical steps based upon them can never lead to contradictory results.

Hilbert was a modern man, no doubt about it. He wanted all of scientific knowledge to be obtained from basic axioms ‘by means of a finite number of logical steps.’ His goal was an extension of his particular dream for mathematics, the eponymous Hilbert’s program —to establish a consistent and complete finite number of axioms as a foundation of all mathematical theories. The goal was of cardinal importance to him. To the point that the his gravestone at Göttingen has these words inscribed (in German):

We must know.
we will know.

Hilbert epitafio
Image by Kassandro, CC-BY-SA-3.0

The epitaph on the gravestone was his response to the Latin maxim ignoramus et ignorabimus («we do not know, we shall not know»), a dictum pronounced by the German Physiologist Emil du Bois-Reymond in a speech to the Prussian Academy of Sciences in which du Bois-Reymond argued that there were questions that neither science nor philosophy could aspire to answer. 

Seen from the perspective of the age, what C. S. Lewis called ‘climate of opinion,’ Hilbert’s aspiration was understandable. The two World Wars had not happened yet; science had not been used to create biological weapons; no one knew that the twentieth century will become the bloodiest in history; progress and industrialization had not caused widely noticed environmental issues; the Left had not produced its Gulag and the Right had not built its Auschwitz.

These events (and some others) overthrew the modern ideal in the way the rolling stone in the vision of Daniel broke the statue with feet of clay into pieces. And in all of these events the problem was easily singled out —the human being. It is impossible to make a Superman out of a man. Enlightened modernity, blinded by pride, failed to see what all religions, even the oldest and the false ones, have seen so clearly —that man is wicked and the intention of his thoughts is only evil continuously, that from the sole of his foot even to the head there is nothing sound in him, that man’s heart is deceitful more than any other thing. In brief, that the problem of man is no other than himself.

Thus, the practical problem of Modernity was man himself, and it was devastating. But the conceptual problem was still to come and it was equally devastating to the modern aspirations.

Enter Gödel

It was September 8 of 1930, Monday, when Hilbert opened the anual meeting of the Society of German Scientists and Physicians in Königsberg with a famous discourse called Logic and the knowledge of nature. He ended with these words:

For the mathematician there is no Ignorabimus, and, in my opinion, not at all for natural science either… The true reason why [no-one] has succeeded in finding an unsolvable problem is, in my opinion, that there is no unsolvable problem. In contrast to the foolish Ignorabimus, our credo avers: We must know, We shall know.

In one of those ironies of history, also in Königsberg, during the three previous days to the conference opened by Hilbert’s speech, a joint conference called Epistemology of the Exact Sciences also took place in Königsberg. On Saturday September 6, in a twenty-minutes talk, Kurt Gödel presented his incompleteness theorems. On Sunday 7, at the roundtable closing the event, Gödel  announced that it was possible to give examples of mathematical propositions that could not be proven in a formal mathematical axiomatic system, even though they were true.

The result was shattering. Gödel showed the limitations of any formal axiomatic system in modeling basic arithmetic. He showed that no axiomatic system could be complete and consistent at the same time.

What does it mean for the axiomatic system to be complete? It means that, using the axioms given, it is possible to prove all of the propositions concerning the system. What does it mean for the axiomatic system to be consistent? It means that its propositions do not contradict themselves. In other words, the system is complete if (using the axioms) all proposition in the system can be proven either true or false; and the system is consistent if (using the axioms) no proposition in the system can be proved simultaneously true and false. 

In simple terms, Gödel’s first incompleteness theorem says that no consistent formal axiomatic system is complete. That is, if the system does not have propositions that are true and false simultaneously, there are other propositions that cannot be proven either true or false. Moreover, such propositions are known to be true but they cannot be proven using the system axioms. There are true propositions of the system that cannot be proven as such, using the axioms of the system.

Gödel’s second incompleteness theorem is stronger. It says that no consistent axiomatic system can prove its own consistency. In the end, his second theorem entails that we cannot know whether a system is consistent or not; we can only assume that it is.

Implications for Hilbert’s program

Let’s recall a portion of Hilbert’s enunciation of his second problem:

[N]o statement within the realm of the science whose foundation we are testing is held to be correct unless it can be derived from those axioms by means of a finite number of logical steps.

Hilbert knew the difference between science and mathematics, of course. So this introduction to his second problem actually fits well to his sixth problem —to axiomatize science. In this regard, his sixth problem is more ambitious than the second one because it purports to translate to science —beyond mathematics— what mathematics should be doing… at least in Hilbert’s mind. But inasmuch as Hilbert was broadening his concepts to take in science as well as mathematics, it was of particular importance that his statement be true of mathematics. That is, the word «science» should be replaceable by the word «mathematics»:

[N]o statement within the realm of the mathematics whose foundation we are testing is held to be correct unless it can be derived from those axioms by means of a finite number of logical steps.

But Gödel’s first incompleteness theorem voids such a statement. There are indeed true mathematical propositions that cannot be derived from a finite number of axioms through a finite number of logical steps. Mathematics, our best way of knowing, the one we consider the most certain, is, in the most optimistic case, incomplete! 

But even this is not the end of the matter. Returning to Hilbert’s presentation of his second problem, he says this in his second paragraph:

Above all I wish to designate the following as the most important among the numerous questions which can be asked with regard to the axioms: To prove that they are not contradictory, that is, that a finite number of logical steps based upon them can never lead to contradictory results.

Well, Gödel’s second incompleteness theorem destroys this statement too. Because it proves the opposite: it shows that no consistent formal axiomatic system can prove its own consistency. If Hilbert’s program is the Titanic, Gödel’s incompleteness theorems are the iceberg that sunk it.

Moreover, Gödel’s first incompleteness theorem throws Comte’s positivism into the trashcan and it does the same with today’s «scientism». There are indeed true statements that are beyond mathematics and science.

Faith

Gödel’s second incompleteness theorem is really strong, overwhelming, and even a source of hopelessness from a rationalist viewpoint. If no consistent formal system can prove its own consistency, the consequences are devastating for whomever has placed his trust in human reason. Why? Because provided the system is consistent, we cannot know it is; and if it is not, who cares? The highest we can reach is to assume (which is much weaker than to know) that the system is consistent and to work under such assumption. But we cannot prove it, it is impossible!

In the end, the most formal exercise in knowledge is an act of faith. The mathematician is forced to believe, absent all mathematical support, that what he is doing has any meaning whatsoever.  The logician is forced to believe, absent all logical support, that what he is doing has any meaning whatsoever. 

Some critics might point that there are ways to prove the consistency of a system. For instance, provided we subsume it in a more comprehensive one. It is true. In such a case, the consistency of the inner system would be proved from the standpoint of the outer system. But a new application of Gödel’s second incompleteness theorem tells us that this bigger system cannot prove its own consistency. That is, to prove the consistency of the first system requires a new faith step in the bigger one. Moreover, since the consistency of the first system depends on the consistency of the second one —which cannot be proved— there is more at stake if we accept the consistency of the second one. Now suppose there is a third system which comprehends the second one and proving that the it is consistent. Faith is all the more necessary if we are to believe that the third system is also consistent. Faith does not disappear, it only compounds making itself bigger and more relevant in order to sustain all that it is supporting. 

In the end, we do not know whether the edifice we are building is going to be consistent, we do not have the least idea. We just hope it will be, and we must believe it will be in order to continue doing mathematics. Faith is the most fundamental of the mathematical tools.

The question is not whether we have faith, the question is what is the object of our faith. It is the rationality of mathematics what is at stake here, its meaning. But we cannot appeal to mathematics to prove its meaning. Thus, Platonic reality, given its existence, does depend on a bigger and more comprehensive reality, one beyond what is reasonable, one that is the Reason itself. 

The pretense to know all things is nothing more than a statement on a gravestone. 

Postscript in Christian apologetics

Even though for years I enjoyed applying analytic philosophy to Christian apologetics, this and other considerations have led me to question that approach. At this point, I don’t see that it shows anything definite. Rather, I see it as a concession to the unbeliever in order to lead him to question his own faith and place it instead in Christ.

It is sad to see that many a Christian apologist has placed his faith in logic, not in the Logos. Minerva’s worshippers, rather than Christ’s. At the end of the day, logic does not prove anything because it is grounded in unprovable propositions. It is impossible to use Aristotelian logic to prove Aristotelian logic; it begs the question, to accept it requires faith. Axioms are indemonstrable by definition and, as theory develops, they become less and less intuitive; to accept them requires faith. Similarly, the consistency of any formal axiomatic system cannot be proven; to accept it requires faith. All of our knowledge is sustained by faith. All of it.

Sustaining faith in reason, besides making for a cheap faith, constitutes an unacceptable abdication to rationalism, because reason and logic cannot sustain anything. They cannot even support themselves. Moreover, in order for faith and reason to have a foundation, not only from an epistemological viewpoint but from an ontological one, there must be a something that sustains it —a First Sustainer undergirding them all.

There is no logic without a Logos. Faith’s only task is to accept that such a Logos does exist. The opposite is despair, meaninglessness. 

***

In the beginning was the Logos,
and the Logos was with God,
and the Logos was God.
He was in the beginning with God.
All things were made through him,
and without him was not any thing made
that was made.
In him was life,

and the life was the light of men…
And the Logos became flesh
and dwelt among us, 
and we have seen his glory,
glory as of the only Son from the Father,
full of grace and truth.
John 1:1-4, 14

He is the image of the invisible God,
the firstborn of all creation.

For by him all things were created,
in heaven and on earth,
visible and invisible,
whether thrones or dominions
or rulers or authorities
—all things were created through him
and for him. 
And he is before all things,
and in him all things hold together. 

Colossians 1:15-17