El desenlace del escritor

Rembrandt – El festín de Belsasar. National Gallery (dominio público).

La revista Inference me invitó a responder al ensayo reciente de David Berlinski llamado The Director’s Cut [El corte del director]. Lo he leído detenidamente, varias veces, y aunque mi conclusión es que, como resulta difícil contestar a un escrito con el que uno está mayormente de acuerdo, más bien voy a utilizarlo como excusa para ahondar en ciertas ideas. 

El escrito versa sobre el primer teorema de incompletitud (PTI) de Gödel. Berlinski invierte casi dos tercios del texto —que no pretende ser formalmente matemático— en la explicación de la idea que usó Gödel para la prueba.1 Después, súbitamente, comienza a hablar sobre las implicaciones del teorema en la discusión filosófica acerca de si la mente es tan solo un computador o es algo más, el llamado «argumento godeliano».2

De hecho, el escrito lleva un flujo de lectura absorbente y bastante formal hasta la explicación de Gödel y Tarski. Cuando gira al problema mente-máquina, la profundidad matemática queda relegada (porque el tema ya no es tan matemático, sino más filosófico) y es casi como si empezara un nuevo escrito, quizás también absorbente, pero en una dirección diferente.

A decir verdad, fue la composición lo que me resultó más extraño en el ensayo de Berlinski. Primero, después de releerlo varias veces sigue sin ser claro para mí si la mención al problema mente-máquina fue apenas un comentario parentético o era el punto al que quería llegar el autor. Segundo, la sección final del ensayo, llamada también «El corte del director», puede leerse de las dos formas, como una conclusión que abarca el problema mente-máquina o como una reflexión general sobre lo que provoca el PTI que poco o nada tiene que ver con el argumento godeliano.

Así, a pesar de que disfruté, y mucho, la explicación de Berlinski sobre la demostración del PTI, como tengo poco que pueda agregar, me voy a concentrar en sus apreciaciones sobre el problema mente-máquina y su conclusión.

Desasosiego para el hombre moderno

Ha de concederse que en el más formal de los sentidos es difícil, a partir de los teoremas de incompletitud de Gödel, o de un corolario suyo, concluir que la mente es más que una máquina. De la afirmación «Un sistema formal es consistente si y solo si tiene proposiciones indecidibles», como dijera Hillary Putnam, no puede decirse mucho más. 

Sin embargo, tampoco se puede negar que hay algo provocador en los teoremas de incompletitud que inducen a pensar que la mente humana es más que una máquina. Que la deducción a partir de los teoremas sea justificada no me parece tan interesante como lo evocadores que resultan en dicha dirección. Hay algo en los teoremas de incompletitud que invita al menos a preguntarse si la mente no será más que una máquina.3 Dos veces cita Berlinski a Gödel al respecto, con lo que se demuestra que ni siquiera Gödel se pudo sustraer a la pregunta, y aunque la respuesta de Gödel parezca más una aplicación de su propio resultado, dándole cierto aire de indecidibilidad al problema, lo importante es que hasta en sus cuestionamientos queda claro que hay algo en los teoremas que nos lleva a considerar el asunto.4

¿Es el hecho de que, como dicen John Lucas y Roger Penrose, nosotros podemos detectar verdades que el sistema formal no está en capacidad de decidir? ¿Es el hecho de que somos capaces de ver símbolos, e ir más allá de los signos, cosa que los computadores (como hoy los tenemos definidos) no pueden hacer? No importa mucho lo que sea, el caso es que, habiendo algo en los teoremas que induce a ir más allá del mecanicismo, el ideal moderno es ya el gran perdedor.

Tekel

Es una creencia popular que la matemática está desprovista de paradojas y posibles contradicciones. En realidad, las paradojas se han venido descubriendo desde hace siglos. Cuando Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron su Principia Mathematica buscaban librar a la matemática de ellas.5 El espíritu de los tiempos tenía todo que ver. La Modernidad exaltaba la razón por encima de todas las cosas, por lo tanto el razonamiento lógico debía ser confiable. La iluminada Ilustración se contrastaba con el oscurantista Medioevo y esto debía quedar claro para todos. Comte, Russell, Wittgenstein, el círculo de Viena, el programa de Hilbert, son todos puntos que buscaban converger al positivismo lógico.

El conocimiento para ser tal debía sujetarse a la razón y esto con criterios estrictamente lógicos. Gödel con sus teoremas derrumba este ideal: hay proposiciones verdaderas de las cuales nos damos cuenta de que son verdaderas, pero que están fuera del alcance del sistema formal. En esto tienen la razón Lucas y Penrose. Si bien es cierto, como decía Putnam, que el PTI mirado desde adentro no dice nada, también lo es que al mirarlo desde la orilla vemos proposiciones verdaderas que el sistema no puede encontrar. Tal vez esta fuera la intención de Berlinski al explicar en detalle el camino de la prueba hasta llegar a la definición 46 de Gödel, Bew, pues como él mismo dice: «Mirando su propio filme, el director ahora está en capacidad de verse a sí mismo mirando su propio filme».

Gödel elimina el ideal moderno. Si bien su PTI no prueba estrictamente que la mente no puede reducirse a una máquina, abre la puerta de par en par a considerarla como algo más, y acaba también con toda pretensión de sujetar todo el conocimiento a una serie de pasos lógicos. El gran perdedor es el positivismo moderno en todas su formas. La ciencia moderna debía mostrar sin lugar a dudas que la mente era reducible a un mecanismo. No solo no lo ha demostrado, sino que Gödel nos lleva a cuestionar este postulado. El PTI deja un sinsabor en la boca del hombre moderno: afirma que el sistema formal o es consistente o es completo, pero no las dos. Sería deseable tener las dos cosas juntas, pero si no se puede tener las dos, al menos es preferible sacrificar la completitud y no la consistencia. Nos queda al menos la esperanza de que el sistema sea consistente.

De Terence Tao y Edward Nelson

En el año 2011, el ya fallecido Edward Nelson, reconocido matemático de la Universidad de Princeton y otrora miembro del Instituto de Estudios Avanzados, anunció que había demostrado la inconsistencia de la aritmética. El asunto trascendió en redes sociales cuando John Baez lo publicó en el blog The n-Category Café. Mientras Baez afirmaba en el blog original que el resultado de Nelson era demasiado técnico para que lo siguiera, ese mismo día, en los comentarios del blog, se dio una conversación fascinante entre Terence Tao y Nelson.

Tal vez fue eso lo que más llamó la atención de todos los que seguimos la noticia en su momento: que Tao, el matemático considerado por muchos como el Carl Friedrich Gauss de nuestros tiempos, hubiera intervenido en redes para esclarecer el asunto hablaba a las claras de la importancia de lo que se estaba tratando.

Una parte no tan pequeña de mí, lo confieso, empezó a pasar de la fascinación al morbo. ¿Qué pasaría si el resultado de Nelson se sostenía? ¿Cuáles serían las implicaciones a nivel matemático? ¿Qué de la aritmética quedaría en pie? ¿Qué de nuestros argumentos racionales seguiría sosteniéndose?

La emoción me duró poco. En el ir y venir de la conversación entre Tao y Nelson, aquel encontró un defecto en la prueba de este, y Nelson terminó retractándose. Sin embargo, algo me quedó claro: a pesar de que la gran mayoría creyera, sin haber leído la prueba, que Nelson estaba equivocado, la posibilidad de que este tuviera la razón estaba abierta y el desconcierto que se vio aquel día hablaba más fuerte que las palabras. Dice Baez (traducción mía):

La mayoría de lógicos no piensan que el problema sea «hacer una aritmética consistente». A diferencia de Nelson, creen que la aritmética que hoy tenemos ya es consistente. El problema es hacer un sistema consistente de aritmética que pueda probar su propia consistencia

Nelson cuestiona el principio de inducción matemática, por razones que explica en su libro, de modo que estoy seguro de que en su nuevo sistema eliminará o modificará este principio.

No es necesario decir que este es un paso radical. Pero mucho más radical es su aseveración de que puede probar que la aritmética común es inconsistente. Casi ningún matemático cree esto. Apuesto que está cometiendo un error en alguna parte, pero de estar en lo correcto alcanzará la gloria eterna.

Baez estaba en lo cierto: Edward Nelson cometió un error en la demostración y se retractó de ella. No obstante, a pesar de que el primer intento de prueba de Nelson se cayó en 2011, él siguió trabajando en el asunto hasta su muerte en 2014. Durante este período produjo dos trabajos llamados Inconsistency of Primitive Recursive Arithmetic [Inconsistencia de la aritmética recursiva primitiva] y Elements [Elementos] que fueron subidos al arXiv de manera póstuma. En ambos apareció un epílogo idéntico, escrito por Sam Buss y Terence Tao. «Por supuesto, creemos que la aritmética de Peano es consistente; por lo tanto no esperamos que el proyecto de Nelson pueda completarse de acuerdo a sus planes», escribieron los dos matemáticos en algún momento del epílogo.

En las dos partes donde Baez conjuga el verbo creer en su cita, el énfasis es agregado mío; en la cita de Buss y Tao, también. En los dos comentarios el uso del verbo no podría ser más apropiado: dada la imposibilidad de mostrar que un sistema formal que satisfaga las condiciones de los teoremas de incompletitud sea a la vez completo y consistente, la única solución es aceptar lo que sea que aceptemos sobre la consistencia por fe. La fe es la más importante de las herramientas del matemático y del lógico. No tiene ningún sentido que el matemático desarrolle matemáticas si cree que el sistema no es consistente, pero esta consistencia es algo que no puede conocer, sino a lo más creer que sea cierta.

El desenlace del escritor

La ciencia moderna debía pasar de la religión al conocimiento lógico, pero el segundo teorema de incompletitud (STI) de Gödel —que muestra que si el sistema es consistente, no tiene como comprobar su propia consistencia—, nos lleva a que la matemática, nuestra forma de conocimiento más formal, no puede sustentarse en la lógica, sino que seguirla aceptando requiere fe… pobre Comte.

«Ningún sistema formal puede explicarse a sí mismo. No puede decir nada y no podemos decir todo», dice David Berlinski en la conclusión de su escrito. Berlinski para en el PTI, en la indecidibilidad.6 Está bien, no tenía por qué ir más adelante al STI, resultado que solo menciona una vez de pasada. Pero le habría sido útil para reforzar el hecho de que no podemos decirlo todo. La esperanza de consistencia se ha convertido en incertidumbre. El sinsabor del PTI se ha convertido en amargura con el STI. A lo mejor que podemos aspirar es a no tener certeza de la consistencia porque cuando probemos que el sistema es consistente (o que no lo es), tan solo habremos demostrado su inconsistencia.

En efecto, el sistema formal no puede explicarse a sí mismo. Más aún, como dijo Berlinski, no puede decir nada. O puesto de otra manera, de nuevo desde la perspectiva del STI, puede decir muchas cosas, pero ninguna será definitiva. ¿Cómo sabemos que en el futuro no aparece un Edward Nelson con una demostración efectiva de que la aritmética es inconsistente?

Hace pocos días, el escritor Arturo Pérez-Reverte, miembro de la Real Academia Española, publicó el siguiente hilo de tres tuits que acá transcribo de corrido: 

«Antes de irme a dormir (acabo de regresar de un viaje) les dejo, o propongo, una idea que tengo en la cabeza hace mucho: la novela perfecta e imposible, por si alguno de ustedes es de verdad un genio (que alguno habrá) y se anima a escribirla.

»Escribir una novela cuya última página sea idéntica a la primera y obligue a volver a esa primera página; de manera que la nueva lectura del libro, a la luz de lo ya leído, proporcione una lectura diferente. Y dedicar la novela a Borges.

»Buenas noches».

La novela perfecta que sueña Pérez-Reverte va a tener que hacerse con base en los teoremas de incompletitud de Gödel. Después de todo el nudo de la Modernidad, Gödel nos dejó como al principio: no es solo que no podamos decidir, sino que hasta nuestros más formales sistemas requieren fe. Tal como antes de que empezara la Modernidad. La última página de la historia no se diferencia de la primera, pero sí nos fuerza una nueva lectura, «[los teoremas de incompletitud] han cambiado la forma en la que vemos las cosas».7 Antes de la Modernidad intuíamos que no teníamos cómo fundamentar la razón por fuera de la fe. Ahora lo sabemos.

Solo hay una novela. Todas las demás son solo derivaciones del Quijote. Todo un homenaje a Borges.

NOTAS

  1. Dan Gusfield, de la Universidad de California en Davis, tiene una prueba en la zona «ricitos de oro» que no es ni demasiado formal para volverse inentendible para la persona de a pie ni demasiado relajada para volverse superflua; apta para estudiantes de pregrado de segundo año. La versión escrita está aquí; la versión en video, aquí.
  2. Los filósofos llaman a esta discusión: «argumento godeliano en la concepción mecanicista». Nombre largo y tedioso.
  3. Y ese algo, por cierto, no se lo cuestionan los computadores.
  4. En un escrito de Jack Copeland, también citado por Berlinski, dice que Gödel parecía inclinarse más hacia el inmaterialismo. La entrada de Wikipedia en español sobre los teoremas de incompletitud de Gödel también afirma esto: «[Marvin] Minsky ha informado de que [sic] Kurt Gödel le dijo a él en persona que él creía que los seres humanos tienen una forma intuitiva, no solamente computacional, de llegar a la verdad y por tanto su teorema no limita lo que puede llegar a ser sabido como cierto por los humanos». Lastimosamente, Wikipedia no da ninguna referencia.
  5. Al respecto véase, por ejemplo, esta charla de Douglas Hofstadter.
  6. Y en el concepto de verdad en lenguajes formalizados de Tarski.
  7. Berlinski, The Director’s Cut.

Categorías:Español

Etiquetas:, , , , , , ,

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s