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¿Contradice el Nuevo Testamento al Antiguo?

La piedad para Vittoria Colonna, de Miguel Ángel. El madero vertical de la cruz detrás de la Virgen María tiene una inscripción del Paraíso de Dante que dice: «No se piensa cuánta sangre costó» (Fuente: Wikipedia).

Me preguntan por qué el Nuevo Testamento (NT) dice algunas cosas que parecen contradecir al Antiguo Testamento (AT). Es una buena pregunta. En general, me parece que hay un problema de interpretación, más que de contradicción interna del texto. Retomaré aquí algo que escribí hace un tiempo en Instagram y lo ampliaré un poco más.

No piensen que he venido a anular la ley y los profetas; no he venido a anularlos, sino a darles cumplimiento.

Mt. 5:17 (NVI)

Hay dos formas de interpretar este pasaje, una correcta y otra contradictoria, como veremos. Con respecto a la segunda, muchos han interpretado esto como que Jesús vino a obedecer la ley de Moisés, pero eso no puede ser. Los Evangelios están llenos de referencias en los que Jesús intencionalmente se pasa la ley «por la galleta» para mostrar amor, que es el sumo bien. Veamos algunos ejemplos.

  1. La ley declaraba inmundo al leproso (Lv. 13), de modo que quien lo tocara quedaba también contaminado (Nm. 5:1-3). Sin embargo, el mismo Mateo que cita a Jesús en el Sermón del Monte diciendo que vino a cumplir la ley, lo primero que hace después de terminar tal discurso es contar que Jesús tocó a un leproso para sanarlo (Mt. 8:1-3).
  2. La ley declaraba que una mujer con flujo de sangre era inmunda y todo el que la tocara quedaba inmundo (Lv. 15:19-33). También declaraba que los muertos eran inmundos y todo el que los tocaba quedaba inmundo (Nm. 5:1-3), a tal punto que los sumos sacerdotes no podían tocar ni a sus seres más queridos (Lv. 21:10-11). Sin embargo, en una misma historia una mujer con flujo de sangre queda sana cuando toca a Jesús, y una niña muerta resucita cuando Jesús la toca (Mt. 9:18-26).
  3. La ley declaraba en varias partes que el día de reposo era irrompible, incluso en los diez mandamientos (Dt. 5:12-15) y que quien lo rompiera debía ser castigado con la muerte (Éx. 35:2-3). Sin embargo, cuando Jesús fue recriminado por trabajar en sábado dijo que sí, que eso era exactamente lo que estaba haciendo (Jn. 5:16-17). Incluso cuando sus discípulos tuvieron hambre y arrancaron espigas en día de reposo, cosa que prohibía la ley (Éx. 34:21), Jesús no los recriminó y antes los defendió ante los religiosos que querían obligarlos a cumplir la ley (Mt. 12:1-14).

¿Se contamina Jesús al tocar al leproso, a la mujer con el flujo de sangre o a la niña muerta? ¿O quedan más bien estas personas puras, sanas, vivas, al tocar a Jesús? ¡La respuesta es, por supuesto, la segunda! Si Jesús hubiera estado sujeto a la ley, habría quedado contaminado. No obstante, las palabras de Jesús dejan claro que Él es Señor de la ley, no siervo de ella (Mt. 12:8). La ley se sujeta a Él, no Él a la ley.

Entonces cuando Jesús dijo que no venía a abrogar la ley, sino a cumplirla, no se refería a sujetarse a ella, sino a darle cumplimiento. La imagen es la de un pagaré que está vigente hasta que la deuda queda cancelada (Col. 2:13-14). Abrogar la ley habría sido no pagarlo; saldar la deuda es cumplir el trato, con lo cual el pagaré —que es la ley de Moisés— queda anulado por cumplido (Ef. 2:14-15).

¿Contradice esto al AT? ¡Claro que no! Pablo les dice a los Gálatas que habría una contradicción si la ley de Moisés pudiera dar vida (Gá. 3:21). Pero la ley de Moisés era incapaz de hacer esto (y muchas cosas más). Si la ley hubiera podido dar vida, si hubiera podido justificar, si hubiera podido santificar, si de ella hubiera dependido que Dios obrara a mi favor, si de ella hubiera dependido que yo recibiera al Espíritu Santo, entonces el NT —y la promesa a Abraham, que es anterior a la ley de Moisés por varios siglos— implicaría una contradicción con el AT. Pero el antiguo pacto tenía los días contados (Gá. 3:19); terminaría cuando llegara el nuevo (Gá. 4:4). Puesto que la ley, el antiguo pacto, era inútil para producir todas las cosas anteriormente mencionadas (He. 7:18-19), es natural que su obsolescencia llegara (He. 8:13). De hecho, que este nuevo pacto llegaría, es algo que estaba profetizado desde el AT (Jer. 31:31-34).

El propósito de la ley era hacer explícito el pecado que había en mi corazón para guiarme a Cristo (Gá. 3:24). Es decir, la ley mostraba que no podía salvarme por mí mismo y necesitaba a otro, a Cristo, para que lo hiciera por mí (Mt. 19:16-26). Pero ahora que estoy en Cristo, la ley ya no es mi guía (Gá. 3:25), sino el Espíritu Santo (Gá. 5:18).

En cuanto a las promesas del AT, su propósito era apuntar a Cristo (Jn. 5:39). Volvemos así a la cita inicial que redondea todo este asunto (Mt. 5:17). Cristo cumplió la ley porque en Él se cumplió todo lo que estaba prometido (Jn. 19:30). Lejos de contradecirlo, en Cristo queda demostrada la veracidad del Antiguo Testamento.

El reguetonero y el nuevo poeta

Poeta de gerundios 
es lo que vienes siendo,
gran escritor de adverbios 
que exigen pocamente,
los verbos de tus rimas,
siempre en infinitivo, 
ni puedes conjugal. 

Poeta de buseta, 
cantor de compostaje,
compositor de estiércol 
y autor de lo soez,
que ni a punta de Viagra 
el cuerpo se te inflama
tanto como esa lengua 
que no dominas bien.

Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

El siguiente texto es una traducción mía del original que Lewis Carroll, el matemático y autor de Alicia en el país de las maravillas, publicara en la revista filosófica Mind en el año 1895. Es corto y muy interesante. Varias páginas en inglés contienen transcripciones del artículo, por ejemplo esta.

Aquiles había sobrepasado a la tortuga y se había sentado cómodamente sobre la espalda de ella.
—¿Así que llegaste al final de nuestra carrera? —dijo la tortuga—. ¿Aunque consista de una serie infinita de distancias? Creí que un sabihondo o algo así había dicho que no se podía.
Puede hacerse —dijo Aquiles—. ¡Se ha hecho! Solvitur ambulando. Verás, las distancias estaban decreciendo constantemente, y…
—¿Y si hubieran estado incrementando? —interrumpió la tortuga—. ¿Qué pasaría entonces?
—Entonces yo no estaría aquí —replicó Aquiles—, ¡y para este momento tú ya le habrías dado varias vueltas al mundo!
—Me adulas… ¡digo, me anulas! —dijo la tortuga—, porque tú eres un peso pesado, que no te cabe la menor duda.1 Bueno, ¿pero te gustaría ahora saber de un circuito que la gente cree poder completar en dos o tres pasos, aunque de verdad sea de un número infinito de distancias, cada una más larga que la anterior?
—¡Pero claro que sí! —dijo el guerrero griego, en tanto sacaba de su casco un enorme cuaderno y un lápiz (pocos guerreros griegos tenían bolsillos por aquella época)—. ¡Adelante! ¡Y, por favor, habla despacio, que todavía no se han inventado la taquigrafía!
—¡Qué bella es la primera proposición de Euclides! —musitó la tortuga distraídamente—. ¿Admiras tú a Euclides?
—¡Apasionadamente! Al menos tanto como es posible hacerlo con un tratado que no será publicado sino en unos cuantos siglos.
—Bueno, pues tomemos ahora un pedacito del argumento en la primera proposición: tan solo dos pasos, y la conclusión que se obtiene de ellos. Ten la bondad de escribirlos en tu cuaderno. Y, por un asunto de conveniencia, llamémoslos A, B y Z.
»(A) Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
»(B) Los dos lados de este triángulo son dos cosas que son iguales a una misma cosa.
»(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
»Supongo que los lectores de Euclides admitirán que Z se sigue lógicamente de A y B. ¿Es decir que quien acepte que A y B son verdaderos, debe aceptar que Z es verdadero?
—¡Sin lugar a dudas! ¡Hasta el más pequeño de la secundaria (tan pronto como se inventen las secundarias, que no será sino hasta dentro de unos dos mil años), admitirá tal cosa!
—Y supongo que el hecho de que algún lector no haya aceptado todavía que A y B son verdaderas no le impide aceptar que la secuencia es válida, ¿cierto?
—Por supuesto que un lector así puede existir. Podría decir: «Acepto que es verdadera la Proposición Hipotética “Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera”; pero no acepto que A y B sean verdaderas». Tal lector haría bien en abandonar a Euclides y dedicarse al fútbol.
—¿Y no podría haber también algún lector que dijera: “Acepto que A y B son verdaderas, pero no acepto la Proposición Hipotética”?
—Claro que puede haberlo. Y él también debería dedicarse al fútbol.
—Y ninguno de estos dos lectores —continuó la tortuga— está hasta este momento bajo la necesidad lógica de aceptar que Z es verdadera.
—Así es —asintió Aquiles.
—Bueno, pues yo quiero que me consideres a mí como uno de esos lectores del segundo grupo, y que me fuerces lógicamente a aceptar que Z es verdadera.
—Una tortuga jugando fútbol… —comenzó a decir Aquiles.
—Una anomalía, por supuesto —interrumpió apresurada la tortuga. Pero no te distraigas. ¡Primero veamos Z y luego, lo del fútbol!
—Tengo que forzarte a aceptar Z, ¿cierto? —dijo Aquiles en tono reflexivo—. Y tu posición actual es que aceptas A y B, pero no aceptas la Proposición Hipotética…
—Llamémosla C —dijo la tortuga.
—Pero no aceptas:
»(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera».
—Esa es mi posición en este momento —dijo la tortuga.
—Entonces debo pedirte que aceptes C.
—Lo haré —dijo la tortuga—, tan pronto como la escribas en tu cuaderno. ¿Qué más tienes en él?
—Tan solo unos memorandos —dijo Aquiles, pasando las hojas nerviosamente—, de las batallas en las que me he distinguido.
—¡Entonces hay muchas hojas blancas! —anotó la tortuga alegremente—. ¡Vamos a necesitarlas todas! —Aquiles se estremeció—. Escribe, pues, lo que voy a dictarte:
»(A) Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
»(B) Los dos lados de este triángulo son dos cosas que son iguales a una misma cosa.
»(C) Si A y B son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»(Z) Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.
—Deberías llamarla D, no Z —dijo Aquiles—. Viene justo después de las otras tres. Si aceptas A, B y C, debes aceptar Z.
—¿Y por qué debo?
—Porque se sigue lógicamente de ellas. Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera. No vas a disputar eso, me imagino.
—Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera —repitió la tortuga en tono pensativo—. Esa es otra proposición hipotética, ¿no? Y si no veo que sea verdadera, podría aceptar A, B y C, y seguir sin aceptar Z, ¿cierto?
—Podrías hacerlo, sí —admitió el héroe con franqueza—; aunque tal cerrilidad es, sinceramente, fenomenal. Sin embargo, el evento es posible. Así que debo pedirte que admitas una Proposición Hipotética más.
—Muy bien. Estoy más que dispuesto a admitir tal cosa, tan pronto como la escribas. La llamaremos:
»(D) Si A, B y C son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»¿Ya la anotaste en tu cuaderno?
—¡Ya! —exclamó Aquiles con júbilo, mientras guardaba el lápiz en su funda—. ¡Y por fin terminamos este circuito ideal! Ahora que aceptas A, B, C y D, por supuesto que aceptas Z.
—¿La acepto? —dijo la tortuga inocentemente—. Hagámoslo muy claro. Acepto A, B, C y D. Supón que todavía me rehuso a aceptar Z.
—¡Entonces la lógica te forzaría a hacerlo! —replicó Aquiles triunfalmente—. La lógica te diría: “Ahora que aceptaste A, B, C y D, ¡debes aceptar Z!”. Así que no tienes elección, ¿lo ves?
—Cualquier cosa que me esté diciendo la buena lógica vale la pena escribirla —dijo la tortuga—. Así que por favor escríbela en tu cuaderno. La llamaremos:
»(E) Si A, B, C y D son verdaderas, Z debe ser verdadera.
»Por supuesto que hasta que no haya admitido eso, no necesito admitir Z. Así que es un paso muy necesario, ¿ves?
—Veo —dijo Aquiles, y había un toque de tristeza en su voz.

Aquí el narrador, teniendo diligencias pendientes en el banco, se vio obligado a dejar a la feliz pareja, y no volvió a pasar por allí sino hasta después de varios meses. Cuando volvió, Aquiles todavía estaba sentado sobre la espalda de la resistente tortuga, y seguía escribiendo en su cuaderno, que ya parecía casi lleno del todo. La tortuga estaba diciendo:

—¿Ya escribiste ese último paso? A menos que haya perdido la cuenta, es el paso mil uno. Hay muchos millones más por venir. Y te importaría, como un favor personal, considerando qué buena instrucción este coloquio nuestro estará proveyendo a los lógicos del siglo diecinueve… ¿te importaría adoptar para ti un calambur que mi prima la Falsa Tortuga hará,2 y aceptar que de ahora en adelante te llames Tortura3?
—¡Como quieras! —replicó el guerrero agotado, con un tono vacío de desesperación, enterrando su cara en sus manos—. En tanto como , por tu parte, adoptes un juego de palabras que la Falsa Tortuga nunca inventó, y aceptes ser llamado de ahora en adelante Aquí-Les-Quedo.4


Notas de traducción

  1. “You flatter me —flatten, I mean” said the Tortoise; “for you are a heavy weight an no mistake!
  2. Juego de palabras en inglés, la Falsa Tortuga era una personaje de Alicia, cuyo nombre original en inglés, Mock-Turtle, también puede traducirse como «Tortuga Burlona».
  3. Taught-Us. Juego de palabras proveniente de Alicia, cuya pronunciación es semejante a la pronunciación británica de tortoise, «tortuga».
  4. A Kill-Ease.

El desenlace del escritor

Rembrandt – El festín de Belsasar. National Gallery (dominio público).

La revista Inference me invitó a responder al ensayo reciente de David Berlinski llamado The Director’s Cut [El corte del director]. Lo he leído detenidamente, varias veces, y aunque mi conclusión es que, como resulta difícil contestar a un escrito con el que uno está mayormente de acuerdo, más bien voy a utilizarlo como excusa para ahondar en ciertas ideas. 

El escrito versa sobre el primer teorema de incompletitud (PTI) de Gödel. Berlinski invierte casi dos tercios del texto —que no pretende ser formalmente matemático— en la explicación de la idea que usó Gödel para la prueba.1 Después, súbitamente, comienza a hablar sobre las implicaciones del teorema en la discusión filosófica acerca de si la mente es tan solo un computador o es algo más, el llamado «argumento godeliano».2

De hecho, el escrito lleva un flujo de lectura absorbente y bastante formal hasta la explicación de Gödel y Tarski. Cuando gira al problema mente-máquina, la profundidad matemática queda relegada (porque el tema ya no es tan matemático, sino más filosófico) y es casi como si empezara un nuevo escrito, quizás también absorbente, pero en una dirección diferente.

A decir verdad, fue la composición lo que me resultó más extraño en el ensayo de Berlinski. Primero, después de releerlo varias veces sigue sin ser claro para mí si la mención al problema mente-máquina fue apenas un comentario parentético o era el punto al que quería llegar el autor. Segundo, la sección final del ensayo, llamada también «El corte del director», puede leerse de las dos formas, como una conclusión que abarca el problema mente-máquina o como una reflexión general sobre lo que provoca el PTI que poco o nada tiene que ver con el argumento godeliano.

Así, a pesar de que disfruté, y mucho, la explicación de Berlinski sobre la demostración del PTI, como tengo poco que pueda agregar, me voy a concentrar en sus apreciaciones sobre el problema mente-máquina y su conclusión.

Desasosiego para el hombre moderno

Ha de concederse que en el más formal de los sentidos es difícil, a partir de los teoremas de incompletitud de Gödel, o de un corolario suyo, concluir que la mente es más que una máquina. De la afirmación «Un sistema formal es consistente si y solo si tiene proposiciones indecidibles», como dijera Hillary Putnam, no puede decirse mucho más. 

Sin embargo, tampoco se puede negar que hay algo provocador en los teoremas de incompletitud que inducen a pensar que la mente humana es más que una máquina. Que la deducción a partir de los teoremas sea justificada no me parece tan interesante como lo evocadores que resultan en dicha dirección. Hay algo en los teoremas de incompletitud que invita al menos a preguntarse si la mente no será más que una máquina.3 Dos veces cita Berlinski a Gödel al respecto, con lo que se demuestra que ni siquiera Gödel se pudo sustraer a la pregunta, y aunque la respuesta de Gödel parezca más una aplicación de su propio resultado, dándole cierto aire de indecidibilidad al problema, lo importante es que hasta en sus cuestionamientos queda claro que hay algo en los teoremas que nos lleva a considerar el asunto.4

¿Es el hecho de que, como dicen John Lucas y Roger Penrose, nosotros podemos detectar verdades que el sistema formal no está en capacidad de decidir? ¿Es el hecho de que somos capaces de ver símbolos, e ir más allá de los signos, cosa que los computadores (como hoy los tenemos definidos) no pueden hacer? No importa mucho lo que sea, el caso es que, habiendo algo en los teoremas que induce a ir más allá del mecanicismo, el ideal moderno es ya el gran perdedor.

Tekel

Es una creencia popular que la matemática está desprovista de paradojas y posibles contradicciones. En realidad, las paradojas se han venido descubriendo desde hace siglos. Cuando Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron su Principia Mathematica buscaban librar a la matemática de ellas.5 El espíritu de los tiempos tenía todo que ver. La Modernidad exaltaba la razón por encima de todas las cosas, por lo tanto el razonamiento lógico debía ser confiable. La iluminada Ilustración se contrastaba con el oscurantista Medioevo y esto debía quedar claro para todos. Comte, Russell, Wittgenstein, el círculo de Viena, el programa de Hilbert, son todos puntos que buscaban converger al positivismo lógico.

El conocimiento para ser tal debía sujetarse a la razón y esto con criterios estrictamente lógicos. Gödel con sus teoremas derrumba este ideal: hay proposiciones verdaderas de las cuales nos damos cuenta de que son verdaderas, pero que están fuera del alcance del sistema formal. En esto tienen la razón Lucas y Penrose. Si bien es cierto, como decía Putnam, que el PTI mirado desde adentro no dice nada, también lo es que al mirarlo desde la orilla vemos proposiciones verdaderas que el sistema no puede encontrar. Tal vez esta fuera la intención de Berlinski al explicar en detalle el camino de la prueba hasta llegar a la definición 46 de Gödel, Bew, pues como él mismo dice: «Mirando su propio filme, el director ahora está en capacidad de verse a sí mismo mirando su propio filme».

Gödel elimina el ideal moderno. Si bien su PTI no prueba estrictamente que la mente no puede reducirse a una máquina, abre la puerta de par en par a considerarla como algo más, y acaba también con toda pretensión de sujetar todo el conocimiento a una serie de pasos lógicos. El gran perdedor es el positivismo moderno en todas su formas. La ciencia moderna debía mostrar sin lugar a dudas que la mente era reducible a un mecanismo. No solo no lo ha demostrado, sino que Gödel nos lleva a cuestionar este postulado. El PTI deja un sinsabor en la boca del hombre moderno: afirma que el sistema formal o es consistente o es completo, pero no las dos. Sería deseable tener las dos cosas juntas, pero si no se puede tener las dos, al menos es preferible sacrificar la completitud y no la consistencia. Nos queda al menos la esperanza de que el sistema sea consistente.

De Terence Tao y Edward Nelson

En el año 2011, el ya fallecido Edward Nelson, reconocido matemático de la Universidad de Princeton y otrora miembro del Instituto de Estudios Avanzados, anunció que había demostrado la inconsistencia de la aritmética. El asunto trascendió en redes sociales cuando John Baez lo publicó en el blog The n-Category Café. Mientras Baez afirmaba en el blog original que el resultado de Nelson era demasiado técnico para que lo siguiera, ese mismo día, en los comentarios del blog, se dio una conversación fascinante entre Terence Tao y Nelson.

Tal vez fue eso lo que más llamó la atención de todos los que seguimos la noticia en su momento: que Tao, el matemático considerado por muchos como el Carl Friedrich Gauss de nuestros tiempos, hubiera intervenido en redes para esclarecer el asunto hablaba a las claras de la importancia de lo que se estaba tratando.

Una parte no tan pequeña de mí, lo confieso, empezó a pasar de la fascinación al morbo. ¿Qué pasaría si el resultado de Nelson se sostenía? ¿Cuáles serían las implicaciones a nivel matemático? ¿Qué de la aritmética quedaría en pie? ¿Qué de nuestros argumentos racionales seguiría sosteniéndose?

La emoción me duró poco. En el ir y venir de la conversación entre Tao y Nelson, aquel encontró un defecto en la prueba de este, y Nelson terminó retractándose. Sin embargo, algo me quedó claro: a pesar de que la gran mayoría creyera, sin haber leído la prueba, que Nelson estaba equivocado, la posibilidad de que este tuviera la razón estaba abierta y el desconcierto que se vio aquel día hablaba más fuerte que las palabras. Dice Baez (traducción mía):

La mayoría de lógicos no piensan que el problema sea «hacer una aritmética consistente». A diferencia de Nelson, creen que la aritmética que hoy tenemos ya es consistente. El problema es hacer un sistema consistente de aritmética que pueda probar su propia consistencia

Nelson cuestiona el principio de inducción matemática, por razones que explica en su libro, de modo que estoy seguro de que en su nuevo sistema eliminará o modificará este principio.

No es necesario decir que este es un paso radical. Pero mucho más radical es su aseveración de que puede probar que la aritmética común es inconsistente. Casi ningún matemático cree esto. Apuesto que está cometiendo un error en alguna parte, pero de estar en lo correcto alcanzará la gloria eterna.

Baez estaba en lo cierto: Edward Nelson cometió un error en la demostración y se retractó de ella. No obstante, a pesar de que el primer intento de prueba de Nelson se cayó en 2011, él siguió trabajando en el asunto hasta su muerte en 2014. Durante este período produjo dos trabajos llamados Inconsistency of Primitive Recursive Arithmetic [Inconsistencia de la aritmética recursiva primitiva] y Elements [Elementos] que fueron subidos al arXiv de manera póstuma. En ambos apareció un epílogo idéntico, escrito por Sam Buss y Terence Tao. «Por supuesto, creemos que la aritmética de Peano es consistente; por lo tanto no esperamos que el proyecto de Nelson pueda completarse de acuerdo a sus planes», escribieron los dos matemáticos en algún momento del epílogo.

En las dos partes donde Baez conjuga el verbo creer en su cita, el énfasis es agregado mío; en la cita de Buss y Tao, también. En los dos comentarios el uso del verbo no podría ser más apropiado: dada la imposibilidad de mostrar que un sistema formal que satisfaga las condiciones de los teoremas de incompletitud sea a la vez completo y consistente, la única solución es aceptar lo que sea que aceptemos sobre la consistencia por fe. La fe es la más importante de las herramientas del matemático y del lógico. No tiene ningún sentido que el matemático desarrolle matemáticas si cree que el sistema no es consistente, pero esta consistencia es algo que no puede conocer, sino a lo más creer que sea cierta.

El desenlace del escritor

La ciencia moderna debía pasar de la religión al conocimiento lógico, pero el segundo teorema de incompletitud (STI) de Gödel —que muestra que si el sistema es consistente, no tiene como comprobar su propia consistencia—, nos lleva a que la matemática, nuestra forma de conocimiento más formal, no puede sustentarse en la lógica, sino que seguirla aceptando requiere fe… pobre Comte.

«Ningún sistema formal puede explicarse a sí mismo. No puede decir nada y no podemos decir todo», dice David Berlinski en la conclusión de su escrito. Berlinski para en el PTI, en la indecidibilidad.6 Está bien, no tenía por qué ir más adelante al STI, resultado que solo menciona una vez de pasada. Pero le habría sido útil para reforzar el hecho de que no podemos decirlo todo. La esperanza de consistencia se ha convertido en incertidumbre. El sinsabor del PTI se ha convertido en amargura con el STI. A lo mejor que podemos aspirar es a no tener certeza de la consistencia porque cuando probemos que el sistema es consistente (o que no lo es), tan solo habremos demostrado su inconsistencia.

En efecto, el sistema formal no puede explicarse a sí mismo. Más aún, como dijo Berlinski, no puede decir nada. O puesto de otra manera, de nuevo desde la perspectiva del STI, puede decir muchas cosas, pero ninguna será definitiva. ¿Cómo sabemos que en el futuro no aparece un Edward Nelson con una demostración efectiva de que la aritmética es inconsistente?

Hace pocos días, el escritor Arturo Pérez-Reverte, miembro de la Real Academia Española, publicó el siguiente hilo de tres tuits que acá transcribo de corrido: 

«Antes de irme a dormir (acabo de regresar de un viaje) les dejo, o propongo, una idea que tengo en la cabeza hace mucho: la novela perfecta e imposible, por si alguno de ustedes es de verdad un genio (que alguno habrá) y se anima a escribirla.

»Escribir una novela cuya última página sea idéntica a la primera y obligue a volver a esa primera página; de manera que la nueva lectura del libro, a la luz de lo ya leído, proporcione una lectura diferente. Y dedicar la novela a Borges.

»Buenas noches».

La novela perfecta que sueña Pérez-Reverte va a tener que hacerse con base en los teoremas de incompletitud de Gödel. Después de todo el nudo de la Modernidad, Gödel nos dejó como al principio: no es solo que no podamos decidir, sino que hasta nuestros más formales sistemas requieren fe. Tal como antes de que empezara la Modernidad. La última página de la historia no se diferencia de la primera, pero sí nos fuerza una nueva lectura, «[los teoremas de incompletitud] han cambiado la forma en la que vemos las cosas».7 Antes de la Modernidad intuíamos que no teníamos cómo fundamentar la razón por fuera de la fe. Ahora lo sabemos.

Solo hay una novela. Todas las demás son solo derivaciones del Quijote. Todo un homenaje a Borges.

NOTAS

  1. Dan Gusfield, de la Universidad de California en Davis, tiene una prueba en la zona «ricitos de oro» que no es ni demasiado formal para volverse inentendible para la persona de a pie ni demasiado relajada para volverse superflua; apta para estudiantes de pregrado de segundo año. La versión escrita está aquí; la versión en video, aquí.
  2. Los filósofos llaman a esta discusión: «argumento godeliano en la concepción mecanicista». Nombre largo y tedioso.
  3. Y ese algo, por cierto, no se lo cuestionan los computadores.
  4. En un escrito de Jack Copeland, también citado por Berlinski, dice que Gödel parecía inclinarse más hacia el inmaterialismo. La entrada de Wikipedia en español sobre los teoremas de incompletitud de Gödel también afirma esto: «[Marvin] Minsky ha informado de que [sic] Kurt Gödel le dijo a él en persona que él creía que los seres humanos tienen una forma intuitiva, no solamente computacional, de llegar a la verdad y por tanto su teorema no limita lo que puede llegar a ser sabido como cierto por los humanos». Lastimosamente, Wikipedia no da ninguna referencia.
  5. Al respecto véase, por ejemplo, esta charla de Douglas Hofstadter.
  6. Y en el concepto de verdad en lenguajes formalizados de Tarski.
  7. Berlinski, The Director’s Cut.

De Hilbert y Gödel

Corría el año 1900; agosto, para ser más precisos; cuando en París, David Hilbert, uno de los matemáticos más reputados de su época, planteó una lista de veintitrés problemas a resolver. Tan grande fue su impacto que gran parte de la investigación matemática del siglo que nacía estuvo dada por sus problemas, los que él consideró más importantes. Dentro de quienes trabajaron en resolver sus problemas se cuentan premios Nóbel, medallistas Fields y otros ganadores de galardones prestigiosos. Algunos de esos problemas, como la hipótesis de Riemann, son tan difíciles que aún hoy siguen sin respuesta y se ofrecen grandes sumas de dinero a quien sea capaz de resolverlos. 

Corría el inicio de 1900. La Ilustración, la Iluminación, había llegado. La Edad Media, el Oscurantismo, había pasado. La revolución científica había traído progreso. Dios había muerto; reinaba el superhombre. El universo con su historia infinita no requería un Dios. Darwin había propuesto un mecanismo natural por medio del cual todas las especies biológicas habían surgido. El siglo veinte se perfilaba como el más prometedor de la historia. Sería el comienzo de una nueva era en la que por fin el hombre ocuparía el lugar que le correspondía en la historia, lejos del mundanal ruido que producían esos mitos sin sentido. La razón debía ser capaz de explicar todas las cosas. Cada evento debería tener una explicación natural de su ocurrencia. Toda proposición debería estar sujeta a una explicación lógica que verificara su estatus de verdad. Si los inicios de año traen consigo la alegría y la ilusión de un nuevo comienzo, de nuevas oportunidades, cuánto más los inicios de siglo. ¡Y cuánto más el inicio del siglo veinte! Uno que prometía tanto: el primer siglo que sería verdaderamente moderno de principio a fin. No era para menos el fervor.

De cierta forma el optimismo humanista era al menos entendible, si no justificable. Ni siquiera el mismo Hilbert pudo escapar a la efervescencia de los tiempos. Al menos dos de sus veintitrés problemas, el segundo y el sexto, revelaban el ideal moderno de sujetarlo todo a la razón. El segundo problema era demostrar que los axiomas de la aritmética eran consistentes: que los axiomas de los números naturales no llevaban a contradicciones. El sexto, axiomatizar la física, en particular la probabilidad y la mecánica.

El sexto problema guarda en sí el corazón moderno de Hilbert: la física misma debía sujetarse a la razón; ¡incluso el azar debía hacerlo! La forma de conocimiento más rigurosa que conocemos debía expandirse más allá de la abstracción para dominar el azar y la realidad física. En su encabezado del segundo problema deja clara su motivación:

Cuando nos ocupa la investigación de los fundamentos de la ciencia, debemos establecer un sistema de axiomas que contenga una descripción completa y exacta de las relaciones que subsisten entre las ideas elementales de tal ciencia. Los axiomas allí establecidos son, al mismo tiempo, las definiciones de aquellas ideas elementales; y ninguna declaración dentro del reino de la ciencia cuyo fundamento estemos evaluando ha de considerarse correcta a menos que pueda derivarse de estos axiomas por medio de un número finito de pasos lógicos…

[Y] por encima de las demás, entre las numerosas preguntas que puedan hacerse con respecto a los axiomas, deseo designar la siguiente como la más importante: Probar que estos axiomas no son contradictorios; es decir, que un número de pasos lógicos basados en los axiomas nunca puede llevar a resultados contradictorios.

Hilbert era un hijo de su tiempo, no queda la menor duda. Quería hacer que todo el conocimiento científico fuera derivado de axiomas elementales mediante «un número finito de pasos lógicos». Su ideal era una extensión de su sueño particular en las matemáticas, el llamado programa de Hilbert: fundamentar todas las teorías matemáticas en conjuntos finitos de axiomas que fueran completos y consistentes. A tal extremo consideraba importante Hilbert su labor que el epitafio en su tumba reza en alemán:

Debemos conocer,
conoceremos.

Hilbert epitafio.jpg

Era una respuesta a la máxima latina ignoramus et ignorabimus —«no conocemos y no conoceremos»—, que en 1880 usara el fisiólogo alemán Emil du Bois-Reymond en un discurso a la Academia Prusa de Ciencias en el cual planteó que había preguntas que ni la ciencia ni la filosofía podían responder.

Mirando las cosas desde la perspectiva de la época, desde lo que C. S. Lewis llamara «el clima de opinión», era entendible la aspiración de Hilbert. No habían acontecido las dos guerras mundiales; no se había usado la ciencia para crear armas biológicas; no se sabía que el siglo veinte sería el más violento de la historia, más que todos los anteriores juntos; el progreso y la industrialización no habían producido problemas ambientales detectables; la izquierda extrema no había producido su Gulag y la derecha extrema no había tenido su Auschwitz.

Todas las cosas anteriormente mencionadas (y otras más) derribaron el ideal moderno como la piedra en la visión del profeta Daniel derribara al ídolo con pies de barro. En todas ellas el problema fue uno solo: el ser humano. Es imposible hacer del hombre un superhombre. La muy iluminada modernidad, enceguecida por su orgullo, falló en ver lo que todas las religiones, incluso las falsas y las más primitivas, han visto: que es mucha la maldad del hombre y su pensamiento de continuo es solamente el mal, que todo en el ser humano es infección y podrida llaga, que el corazón del hombre es engañoso y perverso más que todas las cosas; en fin, que el problema del hombre no es otro que el mismo hombre.

Así las cosas, el problema pragmático de la Modernidad fue el hombre; pero el problema conceptual aún estaba por llegar.

Gödel

El lunes 8 de septiembre de 1930, Hilbert abrió la conferencia anual de la Sociedad de Médicos y Científicos de Alemania en Königsberg con un discurso muy famoso llamado Lógica y el conocimiento de la naturaleza, que culminaba con estas palabras:

Para el matemático no hay Ignorabimus, y en mi opinión tampoco lo hay en las ciencias naturales… La razón por la cual [nadie] ha tenido éxito en encontrar un problema irresoluble es, en mi opinión, que no hay ningún problema irresoluble. En contraste con el necio Ignorabimus, nuestro credo reza: Debemos conocer, habremos de conocer.

En una de esas ironías de la historia, en la misma Königsberg, durante los tres días anteriores a la conferencia que Hilbert con su discurso abriera, se llevó a cabo una conferencia conjunta llamada Epistemología de las Ciencias Exactas. El 6 de septiembre, durante veinte minutos, Kurt Gödel presentó su charla sobre sus teoremas de incompletitud. El domingo 7, en la mesa redonda que cerró el evento, Gödel anunció que se podía presentar ejemplos de proposiciones matemáticas que no fueran demostrables en un sistema formal matemático, aunque fueran verdaderas.

El resultado fue arrollador. Gödel demostró las limitaciones de cualquier sistema axiomático formal para modelar la aritmética básica. Sus dos teoremas mostraron que no existen sistemas de axiomas completos y consistentes en matemáticas.

¿Qué quiere decir que el sistema de axiomas sea completo? Quiere decir que con los axiomas dados es posible probar todas las proposiciones del sistema. ¿Qué quiere decir que el sistema sea consistente? Que sus proposiciones no se contradicen. En otras palabras, el sistema es completo si (usando los axiomas) toda proposición dentro del sistema se puede probar verdadera o falsa, y el sistema es consistente si (usando los axiomas) no existe ninguna proposición que pueda probarse al tiempo verdadera y falsa.

En palabras simples, el primer teorema de incompletitud de Gödel dice que ningún sistema formal consistente es completo. Es decir, que si el sistema no tiene proposiciones verdaderas y falsas al tiempo, existen otras proposiciones que no pueden demostrarse ni verdaderas ni falsas. Más aún, aunque usando el sistema no puedan probarse estas proposiciones, se sabe que son ciertas. O sea que existen proposiciones verdaderas del sistema que no pueden demostrarse verdaderas usando el sistema de axiomas.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel es más fuerte: ningún sistema de axiomas consistente puede probar su propia consistencia. Al final de cuentas, esto implica que no podemos saber de ningún sistema que es consistente; solo podemos suponerlo.

Implicaciones para el programa de Hilbert

Recordemos una parte del encabezado del segundo problema de Hilbert citado anteriormente:

Ninguna declaración dentro del reino de la ciencia cuyo fundamento estemos evaluando ha de considerarse correcta a menos que pueda derivarse de estos axiomas por medio de un número finito de pasos lógicos.

Por supuesto que Hilbert diferenciaba entre matemáticas y ciencia. Entonces este encabezado en realidad se ajustaba perfectamente al sexto problema, el de axiomatizar la ciencia. En tal sentido el sexto problema era más ambicioso porque buscaba llevar a la ciencia —más allá de las matemáticas— lo que, en la cabeza de Hilbert, las matemáticas deberían estar haciendo. Pero es claro que si Hilbert estaba extendiendo sus conceptos de la matemática a la ciencia, con mayor razón debían ser ciertos en la matemática misma. Es decir, la frase anterior tiene sentido en la cabeza de Hilbert porque la siguiente la subyace (remplazando en la cita anterior la palabra ciencia con la palabra matemática):

Ninguna declaración dentro del reino de la matemática cuyo fundamento estemos evaluando ha de considerarse correcta a menos que pueda derivarse de estos axiomas por medio de un número finito de pasos lógicos.

No obstante, el primer teorema de incompletitud de Gödel echa por la borda este planteamiento: hay declaraciones matemáticas correctas que no pueden derivarse de determinados axiomas mediante un número finito de pasos lógicos. ¡La forma de conocimiento que consideramos más certera es, en el mejor de los escenarios, incompleta!

Y esa no es la peor parte. Volviendo al encabezado del segundo problema, dice Hilbert en el segundo párrafo:

Por encima de las demás, entre las numerosas preguntas que puedan hacerse con respecto a los axiomas, deseo designar la siguiente como la más importante: Probar que estos axiomas no son contradictorios; es decir, que un número de pasos lógicos basados en los axiomas nunca puede llevar a resultados contradictorios.

¡Pero el segundo teorema de incompletitud de Gödel también echa por la borda este planteamiento! Precisamente lo que hace el teorema de incompletitud de Gödel es mostrar todo lo contrario: que ningún sistema formal consistente puede probar su propia consistencia.

Si el programa de Hilbert es el Titanic, los teoremas de incompletitud de Gödel son el iceberg que lo hundió. Más aún, el primer teorema de incompletitud tumba también el positivismo de Comte, y de paso el moderno cientifismo: existen verdades que están por fuera del alcance de la matemática y de la ciencia.

Fe

El segundo teorema de incompletitud de Gödel es fuertísimo, arrollador e incluso desesperanzador desde la perspectiva racionalista. Si ningún sistema formal consistente puede demostrar su propia consistencia, las consecuencias son devastadoras para quien ha depositado su fe en la razón humana. ¿Por qué? Porque si un sistema es consistente, no podemos saber que lo es; y si es inconsistente, pues no es confiable. Lo máximo que podemos hacer es suponer (que es mucho más débil que conocer) que el sistema es consistente y trabajar con base en esa suposición. Pero probar dicha suposición es imposible. Al final, el ejercicio de conocimiento más formal es un acto de fe. El matemático se ve obligado a creer, sin ningún sustento matemático, que lo que está haciendo tiene sentido. El lógico se ve obligado a creer sin ningún sustento lógico, que lo que está haciendo tiene sentido.

Algunos críticos dirán que existen formas de probar la consistencia de un sistema. Por ejemplo, si uno lo incluye dentro de uno más grande. Es cierto. En ese caso, la consistencia del sistema menor quedaría demostrada dentro del sistema mayor. Pero una nueva aplicación del segundo teorema de incompletitud de Gödel a este sistema mayor nos dice que él mismo no puede probar su consistencia. Es decir, probar la consistencia del sistema menor requiere un nuevo paso de fe en el sistema mayor. Más aún, como la consistencia del primer sistema depende de la del segundo —que no se puede probar—, más está en juego al aceptar la consistencia del segundo sistema. Y si un tercer sistema de axiomas más grande prueba que el segundo es consistente, pues más importa la fe para creer que ese sistema tercero es consistente. La fe no desaparece entre más formales nos pongamos, solo se hace más relevante y más grande para aceptar lo que está sobre ella.

Al final, no sabemos si todo el edificio que estamos construyendo va a ser consistente, no tenemos ni la más remota idea. Solo esperamos que lo sea y debemos creer que lo es para seguir haciendo matemáticas. La fe es la más fundamental de las herramientas del matemático.

La pregunta no es si tenemos fe, sino en qué tenemos fe. La racionalidad de la matemática es lo que está en juego, su carácter de sentido. Pero no podemos apelar a la matemática misma para probar que ella tiene sentido. La misma realidad platónica, dado que exista, es dependiente de una realidad más grande que la abarque, una que esté más allá de lo razonable, una que sea la Razón.

La pretensión de que todo lo conoceremos es solo la lápida de una tumba.

Consideraciones finales en apologética cristiana

Aunque por años disfruté el acercamiento desde la filosofía analítica a la defensa del cristianismo, estas y otras consideraciones me han llevado a cuestionarlo cada vez más. A estas alturas no veo que tal enfoque sea una demostración definitiva de nada, sino a lo más una concesión en el pensamiento no cristiano que lleve al incrédulo a cuestionar su fe y consiguientemente a depositarla en Cristo.

Es lamentable ver que muchos apologistas han depositado su fe en la lógica, no en el Logos. Adoradores de Minerva antes que de Cristo. Al final de cuentas, la lógica no prueba nada pues está toda sustentada en proposiciones indemostrables. No se puede usar la lógica aristotélica para probar la lógica aristotélica porque caeríamos en un argumento circular; aceptarla requiere fe. Los axiomas son indemostrables por definición, y cada vez menos intuitivos; aceptarlos requiere fe. No se puede conocer la consistencia de ningún sistema formal axiomático; luego aceptarlo requiere fe. Todo el conocimiento está sustentado en la fe. Todo. To-do.

Querer sustentar la fe en la razón o la lógica, además de hacer una fe barata es una abdicación inaceptable al racionalismo, porque la razón y la lógica no sostienen nada, ni siquiera pueden sostenerse a sí mismas. La razón y la lógica se sustentan solo y solo en la fe. Más aún, para que la razón y la lógica se sustenten, ya no desde la epistemología sino desde la ontología, debe haber un algo que las sustente, un Sustento Primero que las mantenga en pie. No hay lógica sin Logos. La fe lo único que hace es creer que dicho Logos sí existe. Lo contrario es el desespero, lo contrario es el sinsentido.

***

En el principio era el Logos,
y el Logos era con Dios,
y el
Logos era Dios.
Este era en el principio con Dios.
Todas las cosas por Él fueron hechas,
y sin Él nada de lo que ha sido hecho, fue hecho.
En Él estaba la vida,
y la vida era la luz de los hombres…
Y aquel Logos fue hecho carne,
y habitó entre nosotros
(y vimos su gloria,
gloria como del Unigénito del Padre),
lleno de gracia y de verdad.
Juan 1:1-4, 14

Él es la imagen del Dios invisible,
el primogénito de toda la creación.
Porque en Él fueron creadas todas las cosas,
las que hay en los cielos
y las que hay en la tierra,
visibles e invisibles;
sean tronos, sean dominios,
sean principados, sean potestades;
todo fue creado por medio de Él y para Él.
Y Él es antes de todas las cosas,
y todas las cosas en Él subsisten.
Colosenses 1:15-17

¡Feliz Navidad, intelectuales del mundo! Celebramos que el Logos nació, porque si no lo creemos, nada de lo que pensamos tiene sentido.

Eternidad

La eternidad no está dada en términos de tiempo, porque el tiempo comenzó a existir. Si definiéramos la eternidad temporalmente, tendríamos que darle un inicio a Dios y, con el correr de los segundos, aquello que llamamos Dios no lo sería, sino que estaría llegando a ser. Eternidad es otra cosa. Eternidad es la plenitud que se vive en el amor. Por eso Dios es trino, necesita serlo porque es también eterno: la eternidad de cada Persona de la Trinidad se encuentra en el amor —dado y recibido— con las Otras Dos.

En cuanto a nosotros, todo lo finito es corto. A este lado del cielo, ningún vínculo se va a asemejar a la intimidad con Dios. Nada más, nadie más, puede satisfacer la eternidad que nos arde y que llevamos dentro, sino Aquel que puede amar perfectamente. Solo Él.

No obstante, lo finito puede ser muy grande, ¡mucho!, con relación a otras cosas finitas. No serán perfectos nuestros lazos, pero tampoco serán por ello malos o menos deseables. Más bien, tanto más nos aproximaremos a la plenitud de allá cuanto mejor sea nuestro amor de acá.

Así, mientras llegamos allá, amamos acá; regalamos eternidad, aquella que Dios ha puesto en nuestros corazones, a quien tenemos acá (prójimo = próximo); con la esperanza de que nuestros amores serán potenciados allá y, en Él, también ellos se harán eternos.